มาดูบทเรียนเรื่องเวกเตอร์ คณิตศาสตร์ ม.5 ใน ม.ปลาย

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

• ปริมาณเวกเตอร์
•  เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
•  เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
• ผลคูณเชิงสเกลาร์
•  ผลคูณเชิงเวกเตอร์
• พื้นที่และปริมาตร

ปริมาณเวกเตอร์

ปริมาณทางฟิสิกส์ เรื่องเวกเตอร์ มี 2 ชนิด คือ
1. ปริมาณเวกเตอร์(vector quality)
2. ปริมาณสเกลาร์(scalar quality)

    นิยามต้องทราบ ถ้า A เป็นเวกเตอร์ใดๆที่มีขนาดและทิศทางหนึ่งๆ เวกเตอร์ –A คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ A แต่ มี ทิศทางตรงกันข้าม
 1.2 การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ
เนื่องจากการหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการวาดรูป ให้ผลลัพธ์ไม่แม่นยำเพียงแต่ได้คร่าวๆ เท่านั้น เพราะถ้าลากความยาวหรือทิศทางลูกศรแทนเวกเตอร์คลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อย ผลของเวกเตอร์ลัพธ์ก็จะคลาดเคลื่อนไปด้วยแต่การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยการคำนวณจะให้ผลลัพธ์ถูกต้องแน่นอน
การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ เมื่อมีเวกเตอร์ย่อยเพียง 2 เวกเตอร์ จะแบ่งออกเป็น 3 ลักษณะ ดังนี้
1. เวกเตอร์ทั้ง 2 ไปทางเดียวกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดเวกเตอร์ทั้งสอง ทิศทางของเวกเตอร์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง
2. เวกเตอร์ทั้ง 2 สวนทางกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลต่างของเวกเตอร์ทั้งสอง ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ที่มีขนาดมากกว่า
เพราะฉะนั้น R = B – A เมื่อ B > A , R = A – B เมื่อ A > B
3. เวกเตอร์ทั้ง 2 ทำมุม 0 ต่อกัน สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยให้เวกเตอร์ย่อยเป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบ ณ จุดนั้น จะ ได้เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดและทิศทางตามแนวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ลากจากจุดที่เวกเตอร์ทั้งสองกระทำต่อกัน
    2. ปริมาณสเกลาร์ (scalar quality) หมายถึง ปริมาณที่มีแต่ขนาดอย่างเดียว ไม่มีทิศทาง เช่น เวลา พลังงาน ความยาว  อุณหภูมิ เวลา พื้นที่ ปริมาตร อัตราเร็ว เป็นต้น  การเขียนเวกเตอร์ของแรง การเขียนใช้ความยาวของส่วนเส้นตรงแทนขนาดของแรง และหัวลูกศรแสดงทิศทางของแรง

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit vector)

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1

มองภาพเห็นไหม ยกตัวอย่างให้เห็นภาพชัดเจน

ส่วนประกอบของเวกเตอร์

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย และมีทิศทางตามเวกเตอร์ที่พิจารณา เช่น ให้ เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ และ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศเดียวกับเวกเตอร์ ดังรูป

ดังนั้นในระบบพิกัดแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยแทนด้วย

มีขนาด 1 หน่วยทิศตามแกน X

มีขนาด 1 หน่วยทิศตามแกน Y

มีขนาด 1 หน่วยทิศตามแกน Z

โดยเวกเตอร์ทั้งสามตั้งฉากซึ่งกันและกัน และเวกเตอร์ทั้งสามจะเรียงกันในทิศทวนเข็มนาฬิกา

จากตัวอย่างที่ 2.3  คำตอบที่ได้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น เป็นการเขียนในรูปแบบมาตรฐานซึ่งมีความสะดวกมากเมื่อนำไปใช้ในการบวกและการคูณเวกเตอร์

รูปแแบบทั่ว ๆ ไปของเวกเตอร์เขียนได้ดังนี้ เมื่อ คือส่วนประกอบบนแกน ของ  ; คือส่วนประกอบบนแกน ของ ; คือส่วนประกอบบนแกน ของ เป็นเวกเตอร์ใน 3 มิติ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit vector)

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit vector)

ผลคูณเชิงสเกลาร์

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ หรือภาษาอังกฤษคือ dot product  คือการนำเวกเตอร์มาดอทกันผลลัพธ์จากการนำเวกเตอร์มาดอทกันนี้จะเป็นสเกลาร์หรือว่าตัวเลข  เรามาดูนิยามของมันเลยครับ

สมบัติที่สำคัญของผลคูณเชิงสเกลาร์

 ผลคูณเชิงเวกเตอร์

นิยาม เวกเตอร์ผลคูณเชิงสเกลาร์ กำหนดให้  

ขอบคุณข้อมูล http://www.tewlek.com/