โจทย์แบบฝึกหัดเรื่อง จำนวนจริง (Real number)

จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, – √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265…

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
		เขียนแทนด้วย 0.5000…
		เขียนแทนด้วย 0.2000…
• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม
• ระบบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่ I – = {…, -4, -3, -2, -1} เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, …} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, …}
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
	x2 = -1	∴ x = √-1 = i
	x2 = -2	∴ x = √-2 = √2 i
	x2 = -3	∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers)

 

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1	กฎการตัดออกสำหรับการบวก
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
	ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 2	กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
	ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 3	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a · 0 = 0
	0 · a = 0
ทฤษฎีบทที่ 4	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	(-1)a = -a
	a(-1) = -a
ทฤษฎีบทที่ 5	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a(-b) = -ab
	(-a)b = -ab
	(-a)(-b) = ab
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
• การลบจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a- b = a + (-b)
	นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
• การหารจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
	= a(b-1)
	นั่นคือ   คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

 

การแก้สมการตัวแปรเดียว

บทนิยาม	สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
	anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
	เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า “สมการพหุนามกำลัง n”
ตัวอย่างเช่น	x3 – 2×2 + 3x -4 = 0
	4×2 + 4x +1 = 0
	2×4 -5×3 -x2 +3x -1 = 0
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
	การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
	นั่นคือ เศษของ   คือ f(c)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	พหุนาม f(x) นี้จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
	ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ   คือ 0
	แสดงว่า x – c หาร f(c) ได้ลงตัว
	นั่นคือ x – c เป็นตัวประกอบของ f(x)
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

 

สมบัติของการไม่เท่ากัน

บทนิยาม	a < b หมายถึง a น้อยกว่า b
	a > b หมายถึง a มากกว่า b
• สมบัติของการไม่เท่ากัน
	กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	1.	สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
	2.	สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c
	3.	จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
		a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
		a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
	4.	สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
		ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
		ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
	5.	สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
	6.	สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
		ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
		ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
บทนิยาม	a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b a < b < c หมายถึง a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

 

ช่วงของจำนวนจริงและการแก้อสมการ

	กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b
	1. ช่วงเปิด (a, b)
	(a, b) = { x | a < x < b }
	2. ช่วงปิด [a, b]
	[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }
	3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]
	(a, b] = { x | a < x ≤ b }
	4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)
	[a, b) = { x | a ≤ x < b }
	5. ช่วง (a, ∞)
	(a, ∞) = { x | x > a}
	6. ช่วง [a, ∞)
	[a, ∞) = { x | x ≥ a}
	7. ช่วง (-∞, a)
	(-∞, a) = { x | x < a}
	8. ช่วง (-∞, a]
	(-∞, a] = { x | x ≤ a}
• การแก้อสมการ
	อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
	คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
	เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง
	หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
	เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
	1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
	ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
	2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
	ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
	ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

ตัวอย่างที่ 1	จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12
วิธีทำ		x + 3	>	12
	∴	x + 3 + (-3)	>	12 + (-3)
		x	>	9
	∴	เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)

ตัวอย่างที่ 2	จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9
วิธีทำ		2x + 1	<	9
	∴	2x + 1 + (-1)	<	9 + (-1)
		2x	<	8
		(2x)	<	(8)
		x	<	4
	∴	เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)
ตัวอย่างที่ 3	จงหาเซตคำตอบของ 4x – 5 ≤ 2x + 5
วิธีทำ		4x – 5	≤	2x + 5
		4x – 5 + 5	≤	2x + 5 + 5
		4x	≤	2x + 10
		4x – 2x	≤	2x + 10 – 2x
		2x	≤	10
		(2x)	≤	(10)
		x	≤	5
	∴	เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]
หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง   กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ   1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0   2. ถ้า   = 0 แล้ว จะได้ a = 0   3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0   4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0   5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0   6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0   7. ถ้า   > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0   8. ถ้า   < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0   9. ถ้า   ≥ 0 แล้ว จะได้   > 0 หรือ   = 0   10. ถ้า   ≤ 0 แล้ว จะได้   < 0 หรือ   = 0

ตัวอย่างที่ 4	จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0
วิธีทำ		ถ้า (x – 3)(x – 4)	>	0 แล้วจะได้
		x – 3	>	0 และ x – 4 > 0
		x	>	3 และ x > 4
	∴	เมื่อ x – 3	>	0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4
		หรือ x – 3	<	0 และ x – 4 < 0
		x	<	3 และ x < 4
	∴	x – 3	<	0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3
	นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0 คือ
	{ x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0 วิธีทำ   ถ้า (x – 3)(x – 4) < 0 แล้วจะได้                       x – 3 > 0 และ x – 4 < 0                            x > 3 และ x < 4       ∴ เมื่อ x – 3 > 0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4     หรือ x – 3 < 0 และ x – 4 > 0     x < 3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้       ∴ ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x – 3 < 0 และ x – 4 > 0   นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0 คือ   { x | 3 < x < 4 } = (3, 4) ——————————————————————-

จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้
กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว
1. ถ้า (x – a)(x – b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b
2. ถ้า (x – a)(x – b) < 0 จะได้ a < x < b
3. ถ้า (x – a)(x – b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b
4. ถ้า (x – a)(x – b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b
5. ถ้า		> 0 จะได้ x < a หรือ x > b
6. ถ้า		< 0 จะได้ a < x < b
7. ถ้า		≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b
8. ถ้า		≤ 0 จะได้ a ≤ x < b
หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

 

ค่าสัมบูรณ์

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง
	นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
	1. |x| = |-x|
	2. |xy| = |x||y|
	3. | x – y | = | y – x |
	4. |x|2 = x2
	5. | x + y | ≤ |x| +|y|
	6. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	7.|x| < a หมายถึง -a < x < a
	|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
	8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	|x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
	|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

โจทย์แบบฝึกหัดเรื่อง จำนวนจริง (Real number)

โครงสร้างของระบบจำนวน

จำนวนเชิงซ้อน ( Complex Number )

• จำนวนจินตภาพ
•  จำนวนจริง
  • จำนวนอตรรกยะ
  • จำนวนตรรกยะ
    • จำนวนเต็ม
      • จำนวนเต็มลบ
      • จำนวนเต็มศูนย์
      • จำนวนเต็มบวก
    • ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ส่วนประกอบของจำนวนจริง

จำนวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย 

1. จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
2. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้

 

จำนวนตรรกยะ ( RATIONAL NUMBER )

จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้น จะมีส่วนประกอบอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือ 

1. จำนวนเต็ม
2. ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

ซึ่งทั้งสองส่วนก็ยังมีส่วนย่อยลงไปได้อีก ส่วนตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนที่มีทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้นั้น จะถือเป็นจำนวนอตรรกยะโดยทันที

 

จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้

1. เศษส่วน
2. ทศนิยมซ้ำ

ซึ่งในหัวข้อนี้จะไม่ได้พูดถึงเศษส่วนและทศนิยมซ้ำอย่างละเอียด ถ้าต้องการศึกษาเพิ่มเติม สามารถเข้าไปศึกษาได้

 

 

จำนวนเต็ม ( INTEGER ) 

จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น

1. จำนวนเต็มบวก
2. จำนวนเต็มลบ
3. จำนวนเต็มศูนย์

ข้อควรรู้ :

• ไม่มีจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด
• ไม่มีจำนวนเต็มลบที่่น้อยที่สุด
•  0 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มลบ 
• จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด คือ 1
• จำนวนเต็มลบที่มากที่สุด คือ -1

ประเภทของจำนวน

1. จำนวนคู่ ( Even Number ) : คือ จำนวนที่ 2 สามารถหารได้ลงตัว
2. จำนวนคี่ ( Odd Number ) : คือจำนวนที่ 2 ไม่สามารถหารได้ลงตัว
3. จำนวนเฉพาะ ( Prime Number ) : คือ จำนวนนับที่มีตัวหารที่เป็นจำนวนบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และ ตัวมันเองเท่านั้น
4. จำนวนประกอบ ( Composite Number ) คือ จำนวนนับที่เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป

 

 

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ

1. สมบัติการบวกในจำนวนจริง

• สมบัติปิดการบวก

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ a + b จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

• สมบัติการสลับที่การบวก

a + b = b + a

• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก  

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

• การมีเอกลักษณ์การบวก

0 + a = a + 0 = a

• การมีอินเวอร์สการบวก 

a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0

2.  สมบัติการคูณในจำนวนจริง

• สมบัติปิดการคูณ

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว ab จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

• สมบัติการสลับที่การคูณ

ab = ba

• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

a × ( bc ) = ( ab ) × c

• การมีเอกลักษณ์การคูณ

1 × a = a × 1 = a

• การมีอินเวอร์สการคูณ

a × ( 1/a ) =  ( 1/a ) × a = 1  

สมบัติการแจกแจง

a ( b+c  ) = ab + ac

1.จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, – √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265…

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
		เขียนแทนด้วย 0.5000…
		เขียนแทนด้วย 0.2000…
• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม
• ระบบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่ I – = {…, -4, -3, -2, -1} เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, …} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, …}
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
	x2 = -1	∴ x = √-1 = i
	x2 = -2	∴ x = √-2 = √2 i
	x2 = -3	∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers)

 

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1	กฎการตัดออกสำหรับการบวก
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
	ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 2	กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
	ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 3	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a · 0 = 0
	0 · a = 0
ทฤษฎีบทที่ 4	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	(-1)a = -a
	a(-1) = -a
ทฤษฎีบทที่ 5	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a(-b) = -ab
	(-a)b = -ab
	(-a)(-b) = ab
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
• การลบจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a- b = a + (-b)
	นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
• การหารจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
	= a(b-1)
	นั่นคือ   คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

 

การแก้สมการตัวแปรเดียว

บทนิยาม	สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
	anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
	เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า “สมการพหุนามกำลัง n”
ตัวอย่างเช่น	x3 – 2×2 + 3x -4 = 0
	4×2 + 4x +1 = 0
	2×4 -5×3 -x2 +3x -1 = 0
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
	การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
	นั่นคือ เศษของ   คือ f(c)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	พหุนาม f(x) นี้จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
	ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ   คือ 0
	แสดงว่า x – c หาร f(c) ได้ลงตัว
	นั่นคือ x – c เป็นตัวประกอบของ f(x)
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

 

สมบัติของการไม่เท่ากัน

บทนิยาม	a < b หมายถึง a น้อยกว่า b
	a > b หมายถึง a มากกว่า b
• สมบัติของการไม่เท่ากัน
	กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	1.	สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
	2.	สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c
	3.	จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
		a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
		a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
	4.	สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
		ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
		ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
	5.	สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
	6.	สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
		ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
		ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
บทนิยาม	a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b a < b < c หมายถึง a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

 

ช่วงของจำนวนจริงและการแก้อสมการ

	กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b
	1. ช่วงเปิด (a, b)
	(a, b) = { x | a < x < b }
	2. ช่วงปิด [a, b]
	[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }
	3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]
	(a, b] = { x | a < x ≤ b }
	4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)
	[a, b) = { x | a ≤ x < b }
	5. ช่วง (a, ∞)
	(a, ∞) = { x | x > a}
	6. ช่วง [a, ∞)
	[a, ∞) = { x | x ≥ a}
	7. ช่วง (-∞, a)
	(-∞, a) = { x | x < a}
	8. ช่วง (-∞, a]
	(-∞, a] = { x | x ≤ a}
• การแก้อสมการ
	อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
	คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
	เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง
	หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
	เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
	1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
	ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
	2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
	ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
	ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

ตัวอย่างที่ 1	จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12
วิธีทำ		x + 3	>	12
	∴	x + 3 + (-3)	>	12 + (-3)
		x	>	9
	∴	เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)

ตัวอย่างที่ 2	จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9
วิธีทำ		2x + 1	<	9
	∴	2x + 1 + (-1)	<	9 + (-1)
		2x	<	8
		(2x)	<	(8)
		x	<	4
	∴	เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)
ตัวอย่างที่ 3	จงหาเซตคำตอบของ 4x – 5 ≤ 2x + 5
วิธีทำ		4x – 5	≤	2x + 5
		4x – 5 + 5	≤	2x + 5 + 5
		4x	≤	2x + 10
		4x – 2x	≤	2x + 10 – 2x
		2x	≤	10
		(2x)	≤	(10)
		x	≤	5
	∴	เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]
หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง   กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ   1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0   2. ถ้า   = 0 แล้ว จะได้ a = 0   3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0   4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0   5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0   6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0   7. ถ้า   > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0   8. ถ้า   < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0   9. ถ้า   ≥ 0 แล้ว จะได้   > 0 หรือ   = 0   10. ถ้า   ≤ 0 แล้ว จะได้   < 0 หรือ   = 0

ตัวอย่างที่ 4	จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0
วิธีทำ		ถ้า (x – 3)(x – 4)	>	0 แล้วจะได้
		x – 3	>	0 และ x – 4 > 0
		x	>	3 และ x > 4
	∴	เมื่อ x – 3	>	0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4
		หรือ x – 3	<	0 และ x – 4 < 0
		x	<	3 และ x < 4
	∴	x – 3	<	0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3
	นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0 คือ
	{ x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0 วิธีทำ   ถ้า (x – 3)(x – 4) < 0 แล้วจะได้                       x – 3 > 0 และ x – 4 < 0                            x > 3 และ x < 4       ∴ เมื่อ x – 3 > 0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4     หรือ x – 3 < 0 และ x – 4 > 0     x < 3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้       ∴ ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x – 3 < 0 และ x – 4 > 0   นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0 คือ   { x | 3 < x < 4 } = (3, 4) ——————————————————————-

จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้
กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว
1. ถ้า (x – a)(x – b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b
2. ถ้า (x – a)(x – b) < 0 จะได้ a < x < b
3. ถ้า (x – a)(x – b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b
4. ถ้า (x – a)(x – b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b
5. ถ้า		> 0 จะได้ x < a หรือ x > b
6. ถ้า		< 0 จะได้ a < x < b
7. ถ้า		≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b
8. ถ้า		≤ 0 จะได้ a ≤ x < b
หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

 

ค่าสัมบูรณ์

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง
	นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
	1. |x| = |-x|
	2. |xy| = |x||y|
	3. | x – y | = | y – x |
	4. |x|2 = x2
	5. | x + y | ≤ |x| +|y|
	6. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	7.|x| < a หมายถึง -a < x < a
	|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
	8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	|x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
	|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a