แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) แผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์ และการดำเนินการของเซต
แผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram)
เป็นแผนภาพที่นิยมใช้เขียนเพื่อแสดงความสัมพันธ์ของเซต เพื่อให้ดูง่ายและชัดเจนมากขึ้น ปกติจะกำหนดเอกภพสัมพัทธ์
ด้วยกรอบสี่เหลี่ยมมุมฉาก ภายในนั้นมีเซตซึ่งอาจเขียนเป็นวงกลม วงรี หรือรูปปิดอื่นๆ
สมมติเรามีเซตต่างๆ ดังภาพต่อไปนี้
จากรูป (a): A = {1, 2} B = {3, 4, 5} จะเห็นได้ว่า A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย
ส่วนรูป (b): C = {a, b,c,d} D = {c,d, e, f, g} จะเห็นได้ว่าทั้งสองเซตนี้มีสมาชิกบางตัวร่วมกัน
สำหรับรูป (c): E = {1,2, 3} F = {1,2}
เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) คือ เซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งต่าง ๆ ที่จะกล่าวถึง โดยมีข้อตกลงว่าจะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดซึ่งนอกเหนือจากสิ่งที่เซตนี้กำหนดไว้ เขีนแทนด้วย U
…….ถ้ากล่าวถึงเซตของจำนวนโดยไม่กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง
……การดำเนินการของเซต (Operation of set) เป็นการสร้างเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่กำหนดให้ ได้แก่
1. ยูเนียน (Union)
…….A U B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือเซต B หรือทั้งสองเซต
2.อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
…….A ∩ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A และเซต B ที่ซ้ำกัน
3. ผลต่าง (Difference)
……. A – B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A โดยที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
4. คอมพลีเมนต์ (Complement)
……. A’ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
2.อินเตอร์เซคชัน (intersection)
3.คอมพลีเมนท์ (complement)
4.ผลต่าง (difference)
ยูเนียน (Union) มีนิยามว่า เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B
ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}
เราสามารถเขียนการยูเนี่ยนลงในแผนภาพได้ดังนี้
อินเตอร์เซกชัน (Intersection) มีนิยามคือ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B
ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}
B = {3,4,5}
∴ A ∩ B = {3}
เราสามารถเขียนการอินเตอร์เซกชันลงในแผนภาพได้ดังนี้
คอมพลีเมนต์ (Complements) มีนิยามคือ ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’
ตัวอย่างเช่น U = {1,2,3,4,5}
A ={1,2,3}
∴ A’ = {4,5}
สมบัติของการยูเนียน
ให้ A,B,C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์
1.) A∪Ø = A
2.) A∪B = B∪A
3.) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
4.) A∪A = A
การอินเตอร์เซกชัน (intersection)
เราจะใช้สัญลักษณ์ ∩ แทนการอินเตอร์เซกชัน
A∩B อ่านว่า A อินเตอร์เซกชัน B คือ เซตที่สร้างมาจากส่วนที่ A กับ B มีสมาชิกร่วมกัน
A∩B คือส่วนที่ A กับ B ซ้ำกัน
เช่น A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,5,a,b} จะได้ว่า A∩B = {2,4,5}
A∩B คือส่วนที่ A กับ B ซ้ำกัน
สมบัติของการอินเตอร์เซกชัน
ให้ A,B,C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์
1.) A∩Ø = Ø
2.) A∩U = A
3.) A∩B = B∩A
4.) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
5.) A∩A = A
ตัวอย่างการยูเนียนและอินเตอร์เซกชัน
ให้ A,B,C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U
ให้แรเงาตามที่โจทย์กำหนด
1.) A∪B
2.) A∩B
3.) (A∩B)∪C
เราจะทำในวงเล็บก่อน
4.) A∩B∩C
ส่วนเติมเต็ม (complement)
ให้A เป็นเซตย่อยของ U เราจะใช้ A′ แทน ส่วนเติมเต็มของ A
พูดให้เข้าใจง่าย A′ ก็คือ ส่วนที่ไม่ใช่ A
สมบัติของส่วนเติมเต็ม
ให้ A และ B เป็นเซตย่อยของ U
1.) (A′)′ = A
2.) A∩A′ = Ø
3.) A∪A′ = U
4.) (A∪B)′ = A′∩B′
5.) (A∩B)′ = A′∪B′
6.) Ø′ = U
7.) U′ = Ø
ผลต่างเซต (difference)
ให้ A และ B เป็นเซตย่อยของ U
ผลต่างของเซต A กับเซต B เขียนแทนด้วย A-B
A-B คือเซตที่มีสมาชิกของA แต่ไม่มีสมาชิกของ B
