ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ

ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ การใช้ความรู้เดิมเชื่อมโยงความรู้ใหม่ (Prior Knowledge)
พิจารณา สมการพหุนามบางสมการในระบบจำนวนจริง

ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบคือ

1.ระบบจำนวนจริง (Real Number System)

2.ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)

สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้

จำนวนเชิงซ้อน

ระบบจำนวนจริงระบบจำนวนจินตภาพ

จำนวนตรรกยะจำนวนอตรรกยะ

จำนวนเต็มจำนวนเศษส่วน

จำนวนเต็มลบจำนวนเต็มศูนย์จำนวนเต็มบวก

1.จำนวนจินตภาพ(Imaginary Number)เป็นจำนวนที่เกิดจากนักคณิตศาสตร์

พยายามแก้ไขปัญหาในค่าx จากสมการx² + 1 = 0

x²=-1

x=±Ö- 1

แต่เนื่องจากÖ- 1มิใช่จำนวนจริงนักคณิตศาสตร์จึงตั้งชื่อจำนวนจริงลบที่อยู่ในเครื่องหมายÖว่าจำนวนจินตภาพและใช้สัญลักษณ์iแทนÖ-1

ดังนั้นi²=-1

2.จำนวนตรรกยะ(Rational Number) คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน

a/b เมื่อa และbเป็นจำนวนเต็มโดยที่b ¹0จำนวนตรรกยะจำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ๆคือ

1.จำนวนเต็ม(Integer)

2.เศษส่วน(Fraction)

3.ทศนิยม(Repeating decimal)

3.จำนวนอตรรกยะ(irrational Number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ

บทนิยาม
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z = (a, b)$ หรือ $z = a + bi$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง
เรียก $a$ ว่า ส่วนจริง (real part) ของ $z$ และเขียนแทนด้วย $R e (z)$
เรียก $b$ ว่า ส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ $z$ และเขียนแทนด้วย $I m (z)$

เช่น

$3 + 2 i$
จะได้ว่า 3 คือส่วนจริง และ 2 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า $(3, 2)$
$- 2 + i$
จะได้ว่า -2 คือส่วนจริง และ 1 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า $(- 2, 1)$
5
จะได้ว่า 5 คือส่วนจริง และ 0 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า $(5, 0)$
$- 2 i$
จะได้ว่า 0 คือส่วนจริง และ –2 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า $(0, - 2)$

สรุปจำนวนจริง (Real Number)

ระบบจำนวนจริงและระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ

ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ
1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)
2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)
สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้

จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
1. จำนวนเต็ม (Integer)
2. เศษส่วน (Fraction)
3. ทศนิยม (Repeating decimal)

จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 หรือจำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ 1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวน
2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้ว p เป็นเลขอตรรกยะ

จำนวนเต็ม คือจำนวนที่สามารถเขียนได้โดยปราศจากองค์ประกอบทางเศษส่วนหรือทศนิยม ตัวอย่างเช่น 21, 4, −2048 เหล่านี้คือจำนวนเต็ม แต่ 9.75, 51.2, √2 เหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม เซตของจำนวนเต็มเป็นเซตย่อยของจำนวนจริง และประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ (0, 1, 2, 3, …) กับจำนวนลบของจำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นศูนย์ (−1, −2, −3, …)

จำนวนเต็ม = I = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }

จำนวนเต็ม แบ่งเป็น 3 อย่างคือ
1) จำนวนเต็มบวก เกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่ามากกว่าตัวลบ

เซตของจำนวนเต็มบวกแทนด้วย I+ = { 1 , 2 , 3 , … }

2) จำนวนเต็มศูนย์ เกิดจากการลบที่ตัวตั้งเท่ากับตัวลบ

เซตของจำนวนเต็มศูนย์ = { 0 } มีสมาชิกตัวเดียว

3) จำนวนเต็มลบ เกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบ

เซตของจำนวนเต็มลบแทนด้วย I- = { -1 , -2 , -3 , … }