กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง พาราโบลา (PARABOLA)

สมการพาราโบลา

สมการของ พาราโบลา คือ สมการที่สามาเขียนให้อยู๋ในรูป

y = Ax + Bx + C โดยที่ a ≠ 0

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อความสะดวกในการทำโจทย์เราจะพยายามแปลงสมการพาราโบลาให้อยู่ในรูปของ

y=(x-h)²+k

สมการพาราโบลาเป็นสมการที่อยู่ในชีวิตประจำวันของเรา ซึ่งเราสามารถนำไปประยุกต์ใช้ต่อไปในอนาคตได้อย่างมากมาย เพราะฉะนั้นการเรียนรู้กราฟพาราโบลาให้เข้าใจเป็นเหมือนพื้นที่ฐานที่ดีในการประยุกต์ใช้ต่อไปในอนาคต

เนื้อหาต่อไปนี้จะค่อย ๆ เริ่มจากการสังเกตสมการพาราโบลา ที่ง่ายที่สุด ไปถึงรูปแบบที่ยากที่สุดก็คือรูปแบบที่กล่าวไว้ข้างต้น

ฟังก์ชันกำลังสอง   (Quadratic function)

           

 ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป    y   =   ax² + bx + c   เมื่อ  a, b, c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ  และ  a¹ 0   ซึ่งกราฟของ

ฟังก์ชันกำลังสอง  เรียกว่า  พาราโบลา

1)     y  =  2x² + 3x – 10     เมื่อ   a = 2 ,  b = 3   และ  c = -1

                                2)     y  =   x² + 1                เมื่อ   a = 1 ,  b = 0   และ  c =  1

                                3)     y  =  -x² + 2x + 1       เมื่อ   a = -1 ,  b = 2   และ  c = 1

               

 1)   กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0

2)  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + k   เมื่อ  a ¹ 0  และ k ¹ 0

กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + k   เมื่อ  a ¹ 0  และ k ¹ 0  จะเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด  อยู่ที่  (0, k)  และแกนสมมาตรคือ  แกน  Y 

 3.  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ h > 0 

                      3.1)  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²    เมื่อ  a ¹ 0  และ  h  ¹ 0   จะเป็นกราฟ

พาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0) และแกนสมมาตรคือเส้นตรง  x = h

                     3.2)  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ  h < 0 

                                ถ้า  h < 0   จะได้สมการใหม่เป็น     y        =    a(x – (-h))²

                                                                                                  =    a(x + h)²

 4.  กราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ  y  =  a(x – h)² + k  เมื่อ  a ¹ 0 ,  h ¹ 0  และ  k ¹ 0   จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  และมีแกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h

  5.  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + bx + c   เมื่อ               a ¹ 0   การเขียนกราฟควรจัดสมการให้อยู่ในรูป   

y   =   a(x – h)² + k   จะทำให้เขียนกราฟได้ง่ายขึ้น 

 จากสมการ    y   =   ax² + bx + c    สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป    y   =   a(x – h)² + k   ได้โดยใช้ความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์ 

กราฟฟังก์ชันกำลังสอง

พหุนามกำลังสองอยู่ในรูปของ ax² + bx + c เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เรานิยามเป็นฟังก์ชัน

P(x) = ax² + bx + c

= a[(x + b/(2a))² –  b²/(4a²) + c/a]

= a[(x + b/(2a))²  – (b² – 4ac)/(4a²)]

ถ้ากำหนดให้  h = – b/2a และ k = – (b² – 4ac)/(4a) ฟังก์ชันที่อยู่รูป

P(x) = a(x – h)² + k

มีกราฟเป็นรูปพาราโบลา

กรณีที่ a > 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาหงายและมีต่ำสุดอยู่ที่จุด (h,k)

กรณีที่ a < 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาคว่ำมีจุดสูงสุดอยู่ที่จุด (h,k)

สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   ax² + k

ถ้า  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (0, k)  ค่าต่ำสุด  =  k

ถ้า  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (0, k)   ค่าสูงสุด  =  k

แกนสมมาตรคือ  แกน  y  หรือเส้นตรง  x  =  0   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  0

ถ้า   k > 0   จุดวกกลับอยู่เหนือแกน  X

ถ้า   k < 0   จุดวกกลับอยู่ใต้แกน  X

ถ้า  a, k  มีเครื่องหมายเหมือนกัน  กราฟไม่ตัดแกน  X

ถ้า  a, k  มีเครื่องหมายต่างกัน  กราฟจะตัดแกน  X

                3.  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ h > 0 

                      3.1)  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²    เมื่อ  a ¹ 0  และ  h  ¹ 0   จะเป็นกราฟ

พาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0) และแกนสมมาตรคือเส้นตรง  x = h

3.2)  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ  h < 0 

ถ้า  h < 0   จะได้สมการใหม่เป็น     y        =    a(x – (-h))²

=    a(x + h)²

สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²

ถ้า  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0)  ค่าต่ำสุด  =  0

ถ้า  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (h, 0)   ค่าสูงสุด  =  0

แกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  h

h > 0   แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายของแกน  Y

h < 0   แกนสมมาตรอยู่ทางขวาของแกน  Y

                4.  กราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ  y  =  a(x – h)² + k  เมื่อ  a ¹ 0 ,  h ¹ 0
และ  k ¹ 0   จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  และมีแกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h

สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)² + k

เมื่อ  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  ค่าต่ำสุด  =  k

เมื่อ  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (h, k)   ค่าสูงสุด  =  k

ถ้า   k > 0   จุดวกกลับอยู่เหนือแกน  X

ถ้า   k < 0   จุดวกกลับอยู่ใต้แกน  X

แกนสมมาตร  คือ  เส้นตรง  x  =  h   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  h

ถ้า  h > 0   แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายมือของแกน  Y

ถ้า  h < 0   แกนสมมาตรอยู่ทางขวามือของแกน  Y

ถ้า  a  และ  k  มีเครื่องหมายเหมือนกันกราฟไม่ตัดแกน  X

ถ้า  a  และ  k  มีเครื่องหมายต่างกันกราฟตัดแกน  X

                5.  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + bx + c   เมื่อ               a ¹ 0   การเขียนกราฟควรจัดสมการให้อยู่ในรูป   

y   =   a(x – h)² + k   จะทำให้เขียนกราฟได้ง่ายขึ้น 

                จากสมการ    y   =   ax² + bx + c    สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป    y   =   a(x – h)² + k   ได้โดยใช้ความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์  

          ตัวอย่าง    จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชัน     y   =   2x² + 4x – 16

วิธีทำ     จาก             y      =     2x² + 4x – 16

=     2(x² + 2x – 8)

=     2{(x² + 2x + 1) – 8 – 1}

=     2{(x + 1)² – 9}

=     2(x + 1)² – 18

จะได้      h      =     -1  ,    k    =    -18

จุดวกกลับคือ   (-1, -18)