การแยกตัวประกอบ พหุนามดีกรีสอง

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

         การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

            ตัวอย่างที่ 1   จงแยกตัวประกอบของ  x² + 2x

            วิธีทำ            x² + 2x       =   (x)(x) + (2)(x) 

                                                =   x(x + 2) 

           ตัวอย่างที่ 2   จงแยกตัวประกอบของ  4x² – 20x

           วิธีทำ           4x² – 20x      =   (4x)(x) – (4x)(5)

                                                =   4x(x – 5)

           ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  -4x² – 6x

           วิธีทำ            -4x² – 6x      =   -2x(2x + 3)

                     หรือ     -4x² – 6x     =    2x(-2x – 3)

          ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  -15x² + 12x

          วิธีทำ            -15x² + 12x    =   (3x)(-5x) + (3x)(4)

                                                  =   3x(-5x + 4)

                     หรือ     -15x² + 12x  =   (-3x)(-5x) – (-3x)(4)
 
                                                  =   -3x(5x – 4)

        การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                   ในรูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

                   ในกรณีที่   a = 1  และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป  x²  +  bx  +  c
  
         สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม 

         ดังตัวอย่างต่อไปนี้

         โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ  ดังนี้

                   x² + 5x + 6   =  x² + (2 + 3)x + (2)(3)         [ 2 + 3 = 5  และ  (2) × (3) = 6 ]
  
                                        =  x² + (2x + 3x) + (2)(3)

                                        =  (x² + 2x) + [3x + (2)(3)] 
 
                                        =  (x + 2)x + (x + 2)(3)

                                        =  (x + 2)(x + 3)

                               นั่นคือ     x² + 5x + 6  =  (x + 2)(x + 3)

                   พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

                   1.   (x + 2)(x + 3)  =  (x + 2)(x) + (x + 2)(3) 
 
                                               =  (x² + 2x)+ [3x + (2)(3)]  

                                               =  x² + (2x+ 3x) + (2)(3)

                                               =  x² + (2+ 3)x + (2)(3)
 
                                                =  x² + 5x + 6

               (x + 4)(x – 5)   =  (x + 4)(x) + (x + 4)(-5) 
 
                                      =   (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)] 
 
                                      =   x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5) 
 
                                      =   x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5) 
 
                                      =   x² + (-1)x + (-20)  

                                      =   x²  –  x  – 20 
  
                      ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ    x² – x – 20   ได้ดังนี้  x² – x – 20   = (x + 4)(x – 5)

               โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้

                    x²– x – 20    =   x² + (-1)x + (-20)

                                      =   (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

                                      =   (x + 4)x + (x + 4)(-5)

                                      =   (x + 4)[x + (-5)]

                                      =   (x + 4)(x -5)

                                                 =  x² + (2x + 4x) + (2)(4) 

                                                 =  (x² + 2x) + [4x + (2)(4)]

                                                 =  (x + 2)x + (x + 2)(4)

                                                 =  (x + 2)(x + 4) 

                ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน  ซึ่ง  mn  =  c  และ  m + n  =  b  

                จะได้ว่า     x² + bx + c    =    (x + m)(x + n)

              ตัวอย่างที่ 5     จงแยกตัวประกอบของ  x² – 10x + 21

              วิธีทำ              เนื่องจาก (-3)(-7)   =   21
               
                        และ              (-3) + (-7)   =   -10

                         ดังนั้น     x² – 10x + 21    =   [ x + (-3)][ x + (-7)] 

                        นั่นคือ     x² – 10x + 21    =  ( x -3 )( x -7 )          
              
              ตัวอย่างที่ 6     จงแยกตัวประกอบของ  x² + 5x – 6

              วิธีทำ              เนื่องจาก  (-1)(6)   =   – 6 
 
                           และ            (-1) + (6)   =    5