กรณฑ์ที่สอง
เราทราบมาแล้วว่า (8)2 = 64 และ (-8)2 = 64 ดังนั้น 8 และ -8 เป็นรากที่สองของ 64 รากที่สองของ 64 เราอาจเขียนโดยใช้เครื่องหมายกรฑ์(√)
บทนิยาม ให้ a แทนจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย์ รากที่สองของ a คือจำนวนที่ยกกำลัง 2 แล้วได้ a
สำหรับ a ที่เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ a มีสองราก คือรากที่สองที่เป็นบวกและรากที่สองที่เป็นลบ ใช้สัญลักษณ์ √a แทนรากที่สองที่เป็นบวกของ a และ -√a แทนรากที่สองที่เป็นลบของ a
สมบัติของรากที่สองของ a เมื่อ a มากกว่าหรือเท่ากับ 0
1. เมื่อ a แทนจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย์(เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a ≥ 0) รากที่สองของ a คือจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ a
2. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ a มีสองราก คือ รากที่สองที่เป็นบวก ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ √a (เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า กรณฑ์ที่สองของ a) และรากที่สองที่เป็นลบ ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ -√a
3. เมื่อ a = 0 รากที่สองของ a คือ 0
4. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก (√a)2 = a และ (-√a)2 = a
การดำเนินการของจำนวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑ์ที่สอง
สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก
√a + √b = √b + √a
สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก
(√a + √b) + √c = √a + (√b + √c)
สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ
√a x √b = √b x √a
สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ
(√a x √b) x √c = √a x (√b x √c)
สมบัติการแจกแจง
√a x (√b + √c) = (√a x √b) + (√a x √c)
การนำไปใช้
ตัวอย่างนี้จะเป็นการนำความรู้เรื่องกรณฑ์ที่สองไปประยุกต์ใช้งานกัน
ตัวอย่าง มีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีด้านประกอบมุมฉากหนึ่งความยาวเป็น 4 หน่วย และอีกด้านตรงข้ามมุมฉากหนึ่งความยาวเป็น 5 หน่วย จงหาความยาวด้านที่เหลือ
วิธีทำ เรารู้แล้วว่าความยาวแต่ละด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากมีสูตรดังนี้
a2 = b2 + c2
52 = 42 + c2
25 = 16 + c2
25 – 16 = c2
9 = c2
√9 = c
c = 3
ดังนั้น ความยาวของด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งมีความยาวเป็น 3 หน่วย
