ฟังก์ชันกำลังสอง(Quadratic function)

ฟังก์ชันพีชคณิตที่มีตัวแปรต้นกำลังศูนย์หรือหนึ่งนั้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น นอกเหนือจากนี้จะให้กราฟที่มีลักษณะเป็นเส้นโค้งในที่นี้เราจะศึกษาฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของพหุนามกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax² + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ a ¹ 0 ซึ่งกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง เรียกว่า พาราโบลา

1) y = 2x² + 3x – 10 เมื่อ a = 2 , b = 3 และ c = -1

2) y = x² + 1 เมื่อ a = 1 , b = 0 และ c = 1

3) y = -x² + 2x + 1 เมื่อ a = -1 , b = 2 และ c = 1

1) กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² เมื่อ a ¹ 0

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง มีชื่อเรียกว่า พาราโบลา ซึ่งลักษณะของกราฟของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของ a , b และ c และเมื่อ a เป็นบวกหรือลบ จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ และกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² เมื่อ a ¹ 0 เมื่อ a > 0 และชนิดคว่ำ เมื่อ a < 0

สรุป ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² เมื่อ a ¹ 0

! เมื่อ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (0, 0)

เมื่อ a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (0, 0)

! แกนสมมาตรคือ แกน Y หรือเส้นตรง X = 0 ,

สมการแกนสมมาตรคือ X = 0

! เมื่อ a > 0 ค่าต่ำสุดคือ 0 และ เมื่อ a < 0 ค่าสูงสุดคือ 0

! | a | ยิ่งมากกราฟยิ่งแคบ

2) กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² + k เมื่อ a ¹ 0 และ k ¹ 0

กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² + k เมื่อ a ¹ 0 และ k ¹ 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด อยู่ที่ (0, k) และแกนสมมาตรคือ แกน Y

กราฟฟังก์ชันกำลังสอง

พหุนามกำลังสองอยู่ในรูปของ ax² + bx + c เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เรานิยามเป็นฟังก์ชัน

P(x) = ax² + bx + c

= a[(x + b/(2a))² – b²/(4a²) + c/a]

= a[(x + b/(2a))² – (b² – 4ac)/(4a²)]

ถ้ากำหนดให้ h = – b/2a และ k = – (b² – 4ac)/(4a) ฟังก์ชันที่อยู่รูป

P(x) = a(x – h)² + k

มีกราฟเป็นรูปพาราโบลา

กรณีที่ a > 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาหงายและมีต่ำสุดอยู่ที่จุด (h,k)

กรณีที่ a < 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาคว่ำมีจุดสูงสุดอยู่ที่จุด (h,k)

สรุป ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² + k

ถ้า a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (0, k) ค่าต่ำสุด = k

ถ้า a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (0, k) ค่าสูงสุด = k

แกนสมมาตรคือ แกน y หรือเส้นตรง x = 0 สมการแกนสมมาตรคือ x = 0

ถ้า k > 0 จุดวกกลับอยู่เหนือแกน X

ถ้า k < 0 จุดวกกลับอยู่ใต้แกน X

ถ้า a, k มีเครื่องหมายเหมือนกัน กราฟไม่ตัดแกน X

ถ้า a, k มีเครื่องหมายต่างกัน กราฟจะตัดแกน X

3. กราฟของ y = a(x – h)² เมื่อ a ¹ 0 และ h > 0

3.1) กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)² เมื่อ a ¹ 0 และ h ¹ 0 จะเป็นกราฟ

พาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่ (h, 0) และแกนสมมาตรคือเส้นตรง x = h

3.2) กราฟของ y = a(x – h)² เมื่อ a ¹ 0 และ h < 0

ถ้า h < 0 จะได้สมการใหม่เป็น y = a(x – (-h))²

= a(x + h)²

สรุป ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)²

ถ้า a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (h, 0) ค่าต่ำสุด = 0

ถ้า a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (h, 0) ค่าสูงสุด = 0

แกนสมมาตรคือ เส้นตรง x = h สมการแกนสมมาตรคือ x = h

h > 0 แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายของแกน Y

h < 0 แกนสมมาตรอยู่ทางขวาของแกน Y

4. กราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)² + k เมื่อ a ¹ 0 , h ¹ 0
และ k ¹ 0 จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่ (h, k) และมีแกนสมมาตรคือ เส้นตรง x = h

สรุป ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)² + k

เมื่อ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (h, k) ค่าต่ำสุด = k

เมื่อ a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (h, k) ค่าสูงสุด = k

ถ้า k > 0 จุดวกกลับอยู่เหนือแกน X

ถ้า k < 0 จุดวกกลับอยู่ใต้แกน X

แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = h สมการแกนสมมาตรคือ x = h

ถ้า h > 0 แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายมือของแกน Y

ถ้า h < 0 แกนสมมาตรอยู่ทางขวามือของแกน Y

ถ้า a และ k มีเครื่องหมายเหมือนกันกราฟไม่ตัดแกน X

ถ้า a และ k มีเครื่องหมายต่างกันกราฟตัดแกน X

5. กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² + bx + c เมื่อ a ¹ 0 การเขียนกราฟควรจัดสมการให้อยู่ในรูป

y = a(x – h)² + k จะทำให้เขียนกราฟได้ง่ายขึ้น

จากสมการ y = ax² + bx + c สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป y = a(x – h)² + k ได้โดยใช้ความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่าง จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชัน y = 2x² + 4x – 16

วิธีทำ จาก y = 2x² + 4x – 16

= 2(x² + 2x – 8)

= 2{(x² + 2x + 1) – 8 – 1}

= 2{(x + 1)² – 9}

= 2(x + 1)² – 18

จะได้ h = -1 , k = -18

จุดวกกลับคือ (-1, -18)

ตัวอย่าง-พิจารสมการ 6x² + 23x – 18 = 0

พิจารณา D = 23² – 4x6x(-18) > 0 สมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนจริงสองคำตอบ หาจำนวนสองจำนวนที่ซึ่งผลคูณเท่ากับ 6x(-18) = – 108 แต่มีผลบวกเท่ากับ 23 จะได้ว่าจำนวนสองจำนวนนั้นคือ 27 และ – 4 ดังนั้น 6x² + 23x – 18 = 6x² – 4x + 27x – 18 = 2x(3x – 2) + 9(3x – 2) = (3x – 2)(2x + 9) = 0 ดังนั้นคำตอบสมการคือ {2/3, -9/2} เมื่อพิจารณากราฟคำตอบจะพบว่าเส้นกราฟตัดแกน x ที่จุด (2/3,0) และ (-9/2,0) ดังภาพที่ 17