จำนวนธรรมชาติเรียกอีกชื้อหนึ่งว่า จำนวนนับ มนุษย์เรียนรู้เกี่ยวกับคำนวณตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์โดยเริ่มจากจากการนับซึ่งจะนับจำนวนสัตว์ที่ล่ามาเป็นอาหาร จำนวนสิ่งของที่มีอยู่ จำนวนที่ใช้ในการนับคือ 1,2,3,……. จำนวนนับเหล่านี้ในยุคดัน ๆ นับไม่ได้มากนัก และวิวัฒนาการนับได้มากขึ้นในระยะต่อมา จำนวนเหล่านี้เรียกว่า จำนวนธรรมชาติ (Natural Number) กำหนดให้เชตของจำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วย N โดยที่
N = {1,2,3,………}
หลังจากนั้นมนุษย์ได้เรียนรู้เกียวกับจำนวนมากขึ้นจึงมีนักคิดที่เรียกว่าคณิตศาสตร์ได้คิดค้นเกียวกับการปฎิบัติการระหว่างจำนวน ได้แก่ บวก (+) ลบ (-) คูณ (x) หาร() ตลอดจนกำหนดคุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติให้เป็นระบบ โดยกำหนดคุณสมบัติระบบจำนวนธรรมชาติกับการบวกและคูณก่อน
ระบบจำนวนธรรมชาติ (System of Natural Numder)
1.สมบัติปิด (Closure Law)
– กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ในเชต N แล้ว
– สำหรับการบวก a+b เป็นจำนวนธรรมชาติ
– สำหรับการคูณ a.b เป็นจำนวนธรรมชาติ
เช่น 2,5 เป็นจำนวนนับจะได้ 2+5 = 7 โดยที่ 7 เป็นจำนวนนัลเช่นกัน
2.สมบัติการจัดหมู่ (Associave Law)
– กำหนด a,b,c เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ในเชต N แล้ว
– สำหรับการบวก (a+b)+c = a+(b+c) และสำหรับการคูณ (a.b).c = a.(b.c)
เช่น 2,5,9 เป็นจำนวนนับหรือจำนวนธรรมชาติจะได้ (2+5)+9 = 2+ (5+9)
3.สมบัติสลับที่ (Commutative Law)
– กำหนด a,b เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ในเชต N แล้ว
– สำหรับการบวก (a+b) = b+a และสำหรับการคูณ a.b = b.a
เช่น 3+2 = 2+3 ผลลัพท์ที่ได้ยังคงเท่ากัน
4.เอกลักษณ์ (Identity) สำหรับการคูณ 1
– กำหนด a เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะได้ a.1 = 1.a = a
เช่น b เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้ 1.b = b.1 = b
สำหรับเอกลัษณ์การบวกมนจำนวนธรรมชาติไม่มีกำหนดไว้
5.สมบัติการกระจาย (Distridutive Law)
– ถ่า a,b,c เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะได้ว่า a.(b+c) = a.b + a.c
หรือ (b+c).a = b.a+c.a
จํานวนจริง ( Real number ) ประกอบด้วยจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ
1. จํานวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบด้วย จํานวนเต็ม ทศนิยมซ้ํา และเศษส่วน
1. จํานวนเต็ม ซึ่งแบ่งเป็น 3 ชนิด คือ
1.1 จํานวนเต็มบวก(I+)หรือจํานวนนับ (N)
∴ I+ = N = {1, 2, 3, …}
1.2 จํานวนเต็มศูนย์ มีจํานวนเดียว คือ {0}
1.3 จํานวนเต็มลบ (I-)
∴ I– = {-1, –2, –3, …}
2. เศษส่วน เช่น 
3. ทศนิยมซ้ํา เช่น 0.6, 0.12, 0.532 เป็นต้น
คุณสมบัติของจำนวนเต็ม
ระบบของจำนวนเต็มกับการบวกและการคูณมีคุณสมบัติทั้งหมดเช่นเดียวกับจำนวนนับและมีสมบัติเพิ่มเติมดังนี้
- เอกลักษณ์ (ldentity) สำหรับการบวก 0 โดยที่ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ a + 0 = a = 0 + a เช่น 5+0 = 5 = 0 + 5
- ผกผัน (lnverse) สำหรับการบวก สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ จะมีจำนวเต็มเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น คือ -a ที่ทำให้ a+ (-a) = 0 =(-a) + a และเรียก –a นี้ว่า ผกผันการบวกของ a เช่น สำหรับจำนวน 5 มี -5 เป็นผกผัน โดยที่ 5+ (-5) = 0 = (-5)+5
2. จํานวนอตรรกยะ( irrational number ) คือ จํานวนที่ไม่ใช่จํานวนตรรกยะ เขียนได้ในรูปทศนิยมไมซ้ํา เช่น
π มีค่าเท่ากับ 3.14159265…
0.1010010001… มีค่าประมาณ 1.101
ทางคณิตศาสตร์ จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์
จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น 3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2 รูปแบบที่เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้
นอกจากนี้ จำนวนตรรกยะทุกจำนวนยังสามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมซ้ำอย่างใดอย่างหนึ่ง[1] เช่น 1 / 2 = 0.5 เป็นทศนิยมรู้จบ, 2 / 3 = 0.666… และ 1 / 7 = 0.142857142857… เป็นทศนิยมซ้ำ เป็นต้น
จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ
ในทางคณิตศาสตร์ “…ตรรกยะ” หมายถึง การจำกัดขอบเขตให้อยู่ในระบบจำนวนตรรกยะเท่านั้น เช่น พหุนามตรรกยะ
เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเราใช้สัญลักษณ์ Q หรือ Blackboard Bold Q โดยใช้เซตเงื่อนไข ได้ดังนี้
