วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร
1. ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้เท่ากันหรือเป็นจำนวนตรงข้ามกัน โดยการคูณหรือการหารด้วยค่าคงตัว
2. นำสมการมาบวกหรือลบกัน หากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรมีค่าเท่ากัน ให้นำสมการมาลบกัน หากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นจำนวน ตรงข้ามกันให้นำสมการมาบวกกัน
3. แก้สมการเพื่อหาค่าตัวแปรในขั้นตอนนี้ สมการต้องเหลือเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น
4.นำคำตอบที่ได้ไปแทนค่าในสมการใด สมการหนึ่งเพื่อหาค่าของตัวแปรอีกตัว
5.ตรวจคำตอบ
ถ้าคำตอบทำให้สมการเป็นจริงทั้งสองสมการ จะได้ว่า ระบบสมการนี้มีคำตอบ
ถ้าคำตอบทำให้สมการไม่เป็นจริงทั้งสองสมการ จะได้ว่า ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทน
วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ด้วยวิธีการแทนให้ทำดังนี้
1. เลือกสมการใดสมการหนึ่งที่ง่ายต่อการค้นหา x ในรูปของ y(หรือการหา y ในรูปของ x)
2. นำผลที่ได้ไปแทนที่ตัวแปร x (หรือ y) ในสมการอื่นทุกสมการ ผลจากการแทนจะทำให้สมการสมการที่ได้ใหม่ไม่มีตัวแปร x (หรือ y) เหลือเพียงตัวแปร y (หรือ x) เพียงตัวเดียว
3. แก้สมการ หาค่า y (หรือ x) จากทุกสมการที่ได้ในขั้น (2)
– ถ้าค่า y (หรือ x) ที่ได้จากทุกสมการมีค่าเท่ากัน แล้ว ระบบสมการนี้จะมีคำตอบ
– ถ้ามีค่า Y (หรือ x) บางค่าไม่เท่ากัน แล้ว ระบบสมการนี้จะไม่มีคำตอบ
– ถ้าผลจากการแทนค่า ทำให้ได้สมการที่เป็นเท็จ แล้ว ระบบสมการนี้จะไม่มีคำตอบ
4. ถ้าระบบสมการเชิงเส้นนี้มีคำตอบ คำตอบที่ได้คือ (a, b) โดยที่ b เป็นค่า y ที่ได้จากขั้น (3) และ a เป็นค่า x ที่ได้จากการนำ b ไปแทนค่า y ในขั้น (1) เพื่อหาค่า x
ตัวอย่าง
จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
x – 2y = 9 (1)
4x – 3y = 6 (2)
วิธีทำ
จากสมการ (1) หาค่า x ในรูปของ y จะได้
x = 2y + 9 (3)
นำค่า x จาก (3) ไปแทน x ใน (2) จะได้
4(2y + 9) – 3y = 6 (4)
แก้สมการ (4) จะได้
8y + 36 – 3y = 6
y = -6
นำค่า y ไปแทนใน (3) จะได้
x = 2(-6) + 9
x = -3
ดังนั้น y = -6, x = -3 จะได้คู่อันดับ (-3, -6)
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ x, y เป็นจำนวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสอง
ตัวแปรที่มีสองสมการดังต่อไปนี้บนแกนคู่เดียวกัน พร้อมทั้งหาคำตอบของระบบสมการ
2x + 3y = 6 . . . . (1)
2x + 3y = 12 . . . . (2)
วิธีทำ เขียนกราฟของสมการที่กำหนดได้ดังนี้
จะเห็นว่าเส้นตรงที่ได้จากสมการ (1) และเส้นตรงที่ได้จากสมการ (2) ขนานกัน จึงไม่มีจุดตัด
นั่นคือระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนี้ไม่มีคำตอบ
| คำตอบของระบบสมการ เชิงเส้นสองตัวแปร คือ จุดตัดของเส้นตรงทุกเส้นของระบบสมการ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรอาจไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบเดียว หรือ มีหลายคำตอบ |
เรื่องที่ 2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้น หมายถึง การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น นอกจากเราจะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กราฟดังที่ศึกษามาแล้วใน เรื่องที่ 1
ยังมีวิธีหาคำตอบ หรือมีวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการทางพีชคณิตอีกสองวิธีดังนี้
1. วิธีแก้สมการโดยการแทนค่า มีวิธีทำดังนี้
(1) เขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง เช่น เขียน x ในรูปของ y จากสมการ (1) หรือสมการ (2) สมการใดสมการหนึ่ง
(2) ถ้าเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งจากสมการ (1) ให้นำผลที่ได้ไปแทนค่าตัวแปรนั้นในสมการ (2) แต่ถ้าเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งจาก (2) ให้นำผลที่ได้ไปแทนค่าตัวแปรนั้นในสมการ (1) เมื่อแทนค่าแล้วสมการที่ได้จะมีตัวแปรเดียว
(3) แก้สมการในข้อ (2) จะหาค่าของตัวแปรตัวที่หนึ่งได้
(4) นำค่าของตัวแปรที่หาได้ไปแทนค่าสมการที่กำหนด สมการใดสมการหนึ่งจะหาค่าของตัวแปรตัวที่สองได้
เมื่อได้ค่าของตัวแปรทั้งสองตัวคือได้คำตอบของระบบสมการ
ให้ศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น
x + 2y = 7 . . . . (1)
2x – y = 4
วิธีทำ ให้ x + 2y = 7 . . . . (1)
2x – y = 4 . . . . (2)
จาก (1) x + 2y = 7
เขียน x ในรูปของ y จะได้
x = 7 – 2y . . . . (3) . . . . ขั้นที่ (1)
นำค่า x ที่ได้ใน (3) แทนค่าในสมการ (2) . . . . ขั้นที่ (2)
2 x – y = 4
จะได้ (2 (7 – 2y) – y = 4
