โครงสร้างของระบบจำนวน -จำนวนจริง ( REAL NUMBER )

โครงสร้างของระบบจำนวน

เป็นหนึ่งในเรื่องของระบบจำนวน โดยในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเพียงจำนวนจริงเท่านั้น ไม่พิจารณาจำนวนจินตภาพ โดยหัวข้อนี้ถือเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำไปต่อยอดในหัวข้อต่าง ๆ ได้ เพราะเรื่องจำนวนจริง มีการประยุกต์ใช้และเป็นข้อสอบ

ส่วนประกอบของจำนวนจริง

จำนวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย 

1. จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
2. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้

จำนวนเชิงซ้อน ( Complex Number )

• จำนวนจินตภาพ
•  จำนวนจริง
  • จำนวนอตรรกยะ
  • จำนวนตรรกยะ
    • จำนวนเต็ม
      • จำนวนเต็มลบ
      • จำนวนเต็มศูนย์
      • จำนวนเต็มบวก
    • ไม่เป็นจำนวนเต็ม

จำนวนตรรกยะ ( RATIONAL NUMBER )

จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้น จะมีส่วนประกอบอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือ 

1. จำนวนเต็ม
2. ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

ซึ่งทั้งสองส่วนก็ยังมีส่วนย่อยลงไปได้อีก ส่วนตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนที่มีทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้นั้น จะถือเป็นจำนวนอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้

1. เศษส่วน
2. ทศนิยมซ้ำ

จำนวนเต็ม ( INTEGER ) 

จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น

1. จำนวนเต็มบวก
2. จำนวนเต็มลบ
3. จำนวนเต็มศูนย์

ประเภทของจำนวน

1. จำนวนคู่ ( Even Number ) : คือ จำนวนที่ 2 สามารถหารได้ลงตัว
2. จำนวนคี่ ( Odd Number ) : คือจำนวนที่ 2 ไม่สามารถหารได้ลงตัว
3. จำนวนเฉพาะ ( Prime Number ) : คือ จำนวนนับที่มีตัวหารที่เป็นจำนวนบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และ ตัวมันเองเท่านั้น
4. จำนวนประกอบ ( Composite Number ) คือ จำนวนนับที่เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป

สรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้

                1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวนก็คือเป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์

                 2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ –1

                 3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้น จำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลง

กล่าวคือ …-5 < -4 < -3 < -2 < -1

                             1.2) เศษส่วน หมายถึง ส่วนหนึ่งๆ ของจำนวนทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นส่วนๆ เท่าๆ กัน 

เช่น    เป็นต้น

                             1.3) ทศนิยมซำ้ คือ การหารเศษส่วนที่ไม่ลงตัวจะซ้ำกันไปเรื่อย ๆอาจจะซ้ำตำแหน่งเดียว   สองตำแหน่งหรือสามตำแหน่ง ซึ่งเราเรียก ทศนิยมนี้ว่า  ทศนิยมซ้ำ 

                              เช่น  กรณีซ้ำ 1 หลัก                                           

                                                                                  

                                    กรณีซ้ำ 2 หลัก                                                  

                                                                                         

                                    กรณีซ้ำ 3 หลัก    

 2) จำนวนอตรรกยะ (Irrational  number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ            หรือเศษส่วน  เมื่อ  a , b เป็นจำนวนเต็ม b0  และสามารถกำหนดค่าประมาณได้  

                     เช่น   มีค่าประมาณ 1.414

                                     มีค่าประมาณ 1.732

                                                           π = 3.14159265… มีค่าประมาณ 3.142

                                                         มีค่าประมาณ 0.707

                  

                                          

          ทศนิยมที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำ เช่น 0.1010010001…,6.808808880…,1.2345678910111213…, เป็นต้น