คณิตศาสตร์เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

{1,2}      ไม่เท่ากับ  {12}

นั่นคือ การที่ สมชาย แอบชอบ สมหญิง ไม่ได้แปลว่า สมหญิง แอบชอบ สมชาย และในบางกรณี กลุ่มหน้า กับ กลุ่มหลัง อาจเป็นกลุมเดียวกันได้ด้วย

ในกรณีที่ กลุ่มหน้ากับกลุ่มหลังเป็นกลุ่มเดียวกัน เราจะเรียกว่า ความสัมพันธ์ “ในกลุ่ม”
ิ
ในเรื่องนี้ เรานิยมใชสัญลักษณ 𝑟  เป็นตัวแปรแทนความสัมพันธ์เช่น    ความสัมพันธ์  “แอบชอบ”  จะแทนด้วย  𝑟แอบชอบ

ความสัมพันธ์   “ชกโดน”   จะแทนด้วย  𝑟ชกโดน

นอกจากการวาดเป็นแผนภาพแล้ว เรายังสามารถใช้  “เซตของคู่อันดับ”  มาช่วยเขียนความสัมพันธ์ได้ด้วย
โดย คู่อันดับ (𝑥, 𝑦) จะมีความหมายว่า 𝑥 สัมพันธ์กับ 𝑦เช่น    𝑟แอบชอบ   =  {(สมชาย, สมหญิง), (สมหวัง, สมหญิง), (สมบัติ, สมหญิง), (สมบัติ, สมศีร)}

𝑟ชกโดน    = {(สมชาย, สมหวัง), (สมชาย, สมบัติ), (สมบัติ, สมปอง)}

โดยเราสมารถเขียนเซตเหล่านี้  “แบบบอกเงื่อนไข”  ได้ด้วยเช่น    𝑟แอบชอบ   =  {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 แอบชอบ 𝑦}

𝑟ชกโดน    = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 ชกโดน 𝑦}

และ เราสามารถใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน เพื่อช่วยบอกขอบเขตของความสัมพันธุ์ได้ด้วยเช่น    𝑟แอบชอบ   = {(𝑥, 𝑦) ∈ เซตของผู้ชาย 𝑥 เซตของผ้หญิง | 𝑥 แอบชอบ 𝑦}

(เอาเฉพาะ 𝑥 ในกลุ่มผู้ชาย มาสัมพันธ์กับ 𝑦 ในกลุ่มผู้หญิง)

              𝑟ชกโดน    = {(𝑥, 𝑦) ∈ เซตของผู้ชาย 𝑥 เซตของผู้ชาย | 𝑥 ชกโดน 𝑦}
(เอาเฉพาะ 𝑥 ในกลุ่มผู้ชาย มาสัมพันธกับ 𝑦 ในกลุ่มผู้ชาย)

อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ที่เราจะเจอในเรื่องนี้ ส่วนใหญ่จะเป็นความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขเช่น    𝑟ยกกำลังสอง ระหว่าง N ไปยัง R  =  { (𝑥, 𝑦) ∈ N 𝑥 R |  𝑥²= 𝑦 }

=  { (1, 1), (2, 4), (3, 9), … }

𝑟มากกว่า ระหว่าง I ไปยัง N =  { (𝑥, 𝑦) ∈ I 𝑥 N  |  𝑥 > 𝑦 }

=  { (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), … }

𝑟หารลงตัว ภายใน N  =  { (𝑥, 𝑦) ∈ N 𝑥 N |  𝑥 หาร 𝑦 ลงตัว }

=  { (1, 1), (1, 2), (1, 3), … , (2, 2), (2, 4), (2, 6), …, (3, 3), (3, 6), (3, 9), … }

ตัวอย่าง กำหนดให้ 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}  ,   𝐵 = {3, 4, 5, 6, 7}  จงเขียนความสัมพันธ์ “บวกกันได้ 6” ระหว่าง 𝐵 ไปยัง 𝐴  ทั้งแบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเงื่อนไขวิธีทำ  ข้อนี้ ระวังให้ดี โจทย์ต้องการความสัมพันธ์ ระหว่าง 𝐵 ไปยัง 𝐴   ดังนั้น ต้องเอา 𝐵 ขึ้นก่อน

 จะเห็นว่า   3 + 3 = 6

4 + 2 = 6

   และ       5 + 1 = 6

ดังนั้น เขียนความสัมพันธ์แบบแจกแจงได้เป็น   𝑟 = { (3, 3), (4, 2), (5,1) }และ เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้เป็น     𝑟 = { (𝑥, 𝑦) ∈ B 𝑥 A |  𝑥 + 𝑦 = 6 }