จำนวนจริงคือจำนวนที่ประกอบขึ้นมาจาก จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ นั่นคือ ถ้าเรามองไปที่เส้นจำนวน ทุกๆจุดบนเส้นจำนวนคือจำนวนจริงทั้งหมด แล้ว ∞ และ -∞ เป็นจำนวนจริงหรือไม่ คำตอบคือไม่เป็นครับ เนื่อง ∞ มีใช่จำนวน แต่เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่บอกถึงจำนวนที่ไม่มีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด

จำนวนจินตภาพ (Imaginary Numbers)

ตามชื่อเลยครับ จำนวนจินตภาพคือจำนวนที่ต้องใช้จินตนาการ ลองนึกๆดูนะครับ เราต้องหาตัวเลขอะไรที่มาคูณตัวเองแล้วได้ผลลัพธ์เป็น -1 บ้าง ลองคิดตามนะครับ ถ้า (1 x 1) = 1 และ (-1) x (-1) = 1

จำนวนจริงกับจำนวนจินตภาพต่างกันอย่างไร

ในขณะที่เราคุยกันเรื่องจำนวนจินตภาพ น้องๆบางคนบอกว่า “สงสัยคงต้องใช้การสร้างจินตนาการในความเข้าใจมัน” ส่วนจำนวนจริงยังพอมองมันเห็นกันได้บ้างเพราะเห็นผ่านตากันมาบ่อยๆ มันอยู่ในโลกแห่งความเป็นจริง

หากน้องๆคิดตามและเข้าใจแบบนี้ ….. น้องๆคิดถูกต้องแล้วครับเพราะจำนวนจริงเป็นจำนวนที่มองเห็นได้ หาค่าได้ มีขอบเขตของจำนวนที่ชัดเจน ส่วนจำนวนจินตภาพตรงกันข้ามกับจำนวนจริงครับ ข้อสำคัญ จำนวนจินตภาพ ยังไม่รู้ว่าแน่ชัดว่ามันอยู่ในตำแหน่งไหนบน “เส้นจำนวน” …. สงสัยอาจจะอยู่ปลายด้านสุดของเส้นจำนวนก็ได้เพราะมันหาค่าไม่ได้ จับมันไปวางกองเอาไว้แถวนั้นท่าจะดี ฝากน้องๆคิดตามดูนะครับ

มีคำถามชวนปวดหัวมาถามน้องๆว่า เราจะนำเอาจำนวนจินตภาพมารวมกับจำนวนจริงได้หรือเปล่า?

คำตอบคือ “ได้ครับ” ถึงแม้ว่าทั้งจำนวนจริงกับจำนวนจินตภาพ มันอยู่กันคนละโลกกันเลย อันหนึ่งเป็นโลกแห่งความเป็นจริง อีกอันหนึ่งอยู่ในโลกแห่งความฝันและจินตนาการ!

มันก็คงเหมือนมนุษย์เราที่ต้องอยู่ในโลกแห่งความเป็นจริงที่ทุกสิ่งจับต้องได้ แม้ว่าจะแอบคิดโน่นคิดนี่ แอบสร้างความคิดฝัน แม้จะมีความสุข เล็กๆน้อยๆ จากการคิดฝัน ก็ตามที ……. นั่นคือทั้งโลกแห่งความจริงและการคิดฝันของมนุษย์ สามารถอยู่ในตัวของคนๆเดียวได้

ถ้าเราจับทั้งสองจำนวนคือจำนวนจริงกับจำนวนจินตภาพ มารวมกันเราเรียกจำนวนที่สร้างมันขึ้นมาใหม่ว่า “จำนวนเชิงซ้อน” (Complex Numbers)

ระบบจำนวนจริง

ระบบจำนวนจริง (Real Number) คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

จำนวนจริง (Real Number)
ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ
1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)
2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)
สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้

จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
1. จำนวนเต็ม (Integer)
2. เศษส่วน (Fraction) >>> จำนวนที่เขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น 1/2, 2/3, 1/3, 50/49, 1, -1, 0
3. ทศนิยม (Repeating decimal) >>> เช่น 3.33333… เท่ากับ 10/3 หรือ 0.142857142857142857142857142857… เท่ากับ 1/7
จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 หรือจำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ
1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวน เช่น เป็นต้น
2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้ว p เป็นเลขอตรรกยะ

จำนวนเต็ม จากจำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้

ตัวอย่าง
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่ I – = {…, -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, …}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, …}
ระบบจำนวนเชิงซ้อนนอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
x^2 = -1 ∴ x = √-1 = i
x^2= -2 ∴ x = √-2 = √2 i
x^2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i

จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers)

สรุป

ส่วนประกอบของจำนวนจริง

จำนวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย

1. จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
2. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้

จำนวนตรรกยะ ( RATIONAL NUMBER )

จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้น จะมีส่วนประกอบอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือ

1. จำนวนเต็ม
2. ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

ซึ่งทั้งสองส่วนก็ยังมีส่วนย่อยลงไปได้อีก ส่วนตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนที่มีทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้นั้น จะถือเป็นจำนวนอตรรกยะโดยทันที

จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้

1. เศษส่วน
2. ทศนิยมซ้ำ

ซึ่งในหัวข้อนี้จะไม่ได้พูดถึงเศษส่วนและทศนิยมซ้ำอย่างละเอียด ถ้าต้องการศึกษาเพิ่มเติม สามารถเข้าไปศึกษาได้

จำนวนเต็ม ( INTEGER )

จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น

1. จำนวนเต็มบวก
2. จำนวนเต็มลบ
3. จำนวนเต็มศูนย์