เรียนเลขออนไลน์ จํานวนจริง ม.4

ส่วนประกอบของจำนวนจริงสามารถสรุปได้ดังนี้

จำนวนจริงประกอบด้วย จำนวนอตรรกยะ และ จำนวนตรรกยะ ซึ่งเราจะพิจารณาในรายละเอียดได้ดังนี้

• จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ ทศนิยมซ้ำได้ ยกตัวอย่างเช่น√2, √3,√5 หรือค่า¶ เป็นต้น
• จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ ทศนิยมซ้ำได้ยกตัวอย่างเช่น 1/2, 1/3, 2/5 เป็นต้น

จากแผนภาพอีกเช่นเคย จะเห็นได้ว่า จำนวนตรรกยะ จะประกอบด้วยสองส่วนคือ จำนวนเต็ม และ จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

• จำนวนเต็ม คือจำนวนที่เป็นตัวเลขเต็มๆ หรือ ตัวเลขที่ไม่มีทศนิยมนั่นเอง นั่นคือ ตัวเลขที่เราใช้นับนั่นเอง ยกตัวอย่างเช่น 1, 2, 3, 4 … ทั้งนี้ทั้งนั้น รวมไปจนถึงค่าที่ติบลบของจำนวนนับนี้และศูนย์ด้วย เช่น 0, -1, -2, -3, -4 ….
• จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ความหมายของจำนวนนี้ก็ตามความหมายของชื่อเลยครับ นั่นคือ ตัวเลขเขียนในรูปของทศนิยมซ้ำได้โดยที่ไม่ได้เป็นเลขจำนวนเต็มนั่นเอง อย่างเช่น 1/2=0.5 หรือ 1/3 = 0.333… (สามซ้ำ)

ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนเต็มยังแบ่งย่อยได้อีกสามหมวดคือ จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มศูนย์

โครงสร้าง

จำนวนจริง

จำนวนจริงคือจำนวนที่ประกอบไปด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 

จำนวนเต็ม

จำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  หรือ  คือจำนวนที่เอาไว้ใช้นับสิ่งต่างๆ

เซตของจำนวนนับเป็นเซตอนันต์ นั่นคือ  = {1,2,3,…}

จำนวนเต็มศูนย์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  มีสมาชิกเพียงตัวเดียว คือ  = {0}

จำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์   คือ ตัวผกผันการบวกของจำนวนนับ ซึ่งตัวผกผัน คือตัวที่เมื่อนำมาบวกกับจำนวนนับจะทำให้ผลบวก เท่ากับ 0 เช่น จำนวนนับคือ 2 ตัวผกผันก็คือ -2 เพราะ 2+(-2) = 0 สมาชิกของเซตของจำนวนเต็มลบมีจำนวนเป็นอนันต์ นั่นคือ  = {…,-3,-2,-1}

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ซึ่งก็คือ ตัวเศษและตัวส่วนจะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น (เต็มบวก, เต็มลบ) เช่น    จะเห็นว่า ตัวเศษคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ซึ่งทั้ง 1 และ 2 เป็นจำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะยังสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้อีกด้วย เช่น  เป็นต้น

น้องๆสงสัยไหมว่าทำไมจำนวนเต็มถึงอยู่ในจำนวนตรรกยะ??

ลองสังเกตตัวอย่างต่อไปนี้ดูค่ะ

-3, 2, 0

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก
สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการคูณ abเป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
4. เอกลักษณ์การคูณ 1 • a = a = a • 1
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
5. อินเวอร์สการคูณ a • a-1 = 1 = a • a-1, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca

สมบัติการเท่ากัน

1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

สมบัติการบวก

1. สมบัติปิด ถ้า a ϵ R และ b ϵ R แล้ว a + b ϵ R
2. สมบัติการสลับที่ จะได้ a + b = b + a
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม จะได้ a + (b + c) = (a + b) + c
4. สมบัติมีเอกลักษณ์การบวก คือ 0 จะได้ 0 + a = a + 0 = a
5. สมบัติมีอินเวอร์สการบวก a มีอินเวอร์สการบวกคือ -a และ -a มีอินเวอร์สการบวก คือ a จะได้ a + (-a) = (-a) + a = 0

สมบัติการคูณ

1. สมบัติปิด ถ้า a ϵ R และ b ϵ R แล้ว a.b ϵ R
2. สมบัติการสลับที่ จะได้ a.b = b.a
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม จะได้ a.(b.c) = (a.b).c
4. สมบัติมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 จะได้ 1.a = a.1 = a
5. สมบัติมีอินเวอร์สการคูณ (ยกเว้น 0 เพราะ 1/0 ไม่มีความหมาย) a มีอินเวอร์สการคูณคือ 1/a และ 1/a มีอินเวอร์สการคูณ คือ a จะได้ a. 1/a = 1/a .a=1

สมบัติการคูณและการบวก

• สมบัติการแจกแจง จะได้ a(b+c)=a.b+a.c

เอกลักษณ์ที่ถูกนำไปใช้บ่อยในการแก้สมการพหุนาม หรือ อสมการพหุนาม

1. (a +b)²= a²+2ab+b²
2. (a-b)²=a²-2ab+b²
3. a²-b²=(a-b) (a+b)
4. (a+b)³-a³ +3a²b + 3ab² + b³
5. (a-b)³=a³-3a²b+3ab²– b³
6. a³+ b³=(a+b) (a²-ab+b²)
7. a³– b³=(a-b) (a²+ab+b²)

พหุนามคือ พจน์ติดตัวแปรที่เขียนได้ในรูป a_nxⁿ + a_n−1 xⁿ⁻¹ + an−2xⁿ⁻² + … + a₁+a₀ โดย

1. nคือ ดีกรี หรือ กำลังของพหุนาม
2. anคือ สัมประสิทธิ์ของพจน์แรก