ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

จำนวนตรงข้าม

“หากค่าของจำนวนที่อยู่ห่างจาก 0 เท่ากัน แต่อยู่ต่างทิศทางกันมีค่าเท่ากันหรือไม่” (ค่าไม่เท่ากัน) 

ทราบหรือไม่ว่า จำนวนที่อยู่ทิศทางต่างกันแต่มีระยะห่างจาก 0 เท่ากัน คือ จำนวนอะไร (จำนวนตรงข้าม) ยกตัวอย่าง ดังนี้

เช่น      จำนวนตรงข้ามของ 4 เขียนแทนด้วย -4

จำนวนตรงข้ามของ -4 เขียนแทนด้วย -(-4)

และเนื่องจากจำนวนตรงข้ามของ -4 คือ 4

ดังนั้น  -(-4) = 4

สรุปได้ว่า

ถ้า a เป็นจำนวนใดๆ จำนวนตรงข้าม ของ a มีเพียงจำนวนเดียวและเขียนแทนด้วย  – a  เรียก – a ว่า จำนวนตรงข้าม ของ a

สรุป     ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มใดๆ จะหาได้จากระยะทางที่จำนวนเต็มนั้นอยู่ห่างจาก 0 บนเส้นจำนวน

การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจำนวนเต็มชนิดเดียวกัน
หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มนั้นมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามชนิดของจำนวนที่นำมาบวกกัน

1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างที่ 10 + 12 =

ค่าสัมบูรณ์ของ 10 หรือ |10| = 10

ค่าสัมบูรณ์ของ 12 หรือ |12| = 12

ดังนั้น |10| + |12| = 10 + 12 = 22

นั่นคือ 10 + 12 = 22

2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ

หลักการ คือ นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่างที่ (-15) + (-20) =

ค่าสัมบูรณ์ของ -15 หรือ |-15| = 15

ค่าสัมบูรณ์ของ -20 หรือ |-20| = 20

ดังนั้น |15| + |20| = 15 + 20 = 35

แต่ผลลัพธ์ที่ได้ต้องเป็นจำนวนเต็มลบ ดังนั้น (-15) + (-20) = -35

สรุป

1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มบวก

2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ

การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน

หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มทั้งสองนั้นมาลบกันและผล ลัพธ์จะเป็น จำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มาก

ตัวอย่างที่ -9 + 5 =

ค่าสัมบูรณ์ของ -9 หรือ |-9| = 9

ค่าสัมบูรณ์ของ 5 หรือ |5| = 5

นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าเป็นตัวตั้งแล้วลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า

จะได้ |-9| – |5| = 9 – 5= 4

ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ

ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ดังนั้น (-9) + 5 = -4

สรุป การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน คือการนำเอาจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าเป็นตัวตั้ง

แล้วลบส่วนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า ผลลัพธ์ที่ได้ เป็นจำนวนเต็มบวก หรือจำนวนเต็มลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

การลบจำนวนเต็ม

การลบจำนวนเต็มมีข้อตกลงดังนี้

ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็มใด ๆ a – b = a + จำนวนตรงข้ามของ b

หรือ a – b = a + (-b)

ถ้าเราพิจารณาผลลัพธ์ของ 5 – 3 และ 5 + ( -3 )

เราจะพบว่า 5 – 3 = 2 และ 5 + ( -3 ) = 2

นั้นคือ 5 – 3 = 5 + (-3)

แสดงว่า การลบจำนวนเต็มเราสามารถหาได้ในรูปของการบวก

ถ้าเราสังเกต 3 และ -3 เราจะเห็นว่า จำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน

จึงสรุปได้ว่า

ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

หมายเหตุ การเปลี่ยนรูปแบบในการลบจำนวนเต็มในรูปของการบวก

การคูณจำนวนเต็ม

1. การคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก

3 x 3 =

โดยที่ 3 x 3 หมายถึง 3 + 3 + 3 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 9

สรุป การคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก มีผลคูณเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

2. การคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ

การคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ผลคูณเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนทั้งสองนั้น

3. การคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก

การหาผลคูณของจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก ให้ใช้สมบัติการสลับที่แล้วใช้วิธีการเดียวกับการคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ

ดังนั้น การคูณของจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก ผลคูณจะเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนทั้งสองนั้น

4. การคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ

การหาผลคูณของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ให้ใช้สมบัติการสลับที่แล้วใช้วิธีการเดียวกับการคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก

ดังนั้น การคูณของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ผลคูณจะเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนทั้งสองนั้น

การหารจำนวนเต็ม

เรื่อง การหารจำนวนเต็ม

เมื่อ a , b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆที่ b ไม่เท่ากับ 0

ถ้า a ÷ b = c แล้ว a = b x c และ ถ้า a = b x c แล้ว a ÷ b = c

ซึ่งในทางคณิตศาสตร์อาจเขียน a ÷ b แทนด้วย

1. การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก

หลักการ การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มบวก

2. การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบหรือการหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก

หลักการ การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบหรือการหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ

3. การหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ

หลักการ การหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มบวก

สมบัติของจำนวนเต็ม

เรื่อง สมบัติของจำนวนเต็ม

สมบัติของจำนวนเต็มเกี่ยวกับการบวกและการคูณ

1.สมบัติปิด(Closure Property)

1.1 สมบัติปิดของการบวก ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a+b เป็นจำนวนเต็ม

เช่น 5 จำนวนเต็ม

-10 เป็นจำนวนเต็ม

5+(-10)=-5 เป็นจำนวนเต็ม

1.2 สมบัติปิดการคูณ

ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a×b เป็นจำนวนเต็ม

เช่น 5 จำนวนเต็ม

-10 เป็นจำนวนเต็ม

5× (-10)=-50 เป็นจำนวนเต็ม

2.สมบัติการสลับที่(Commutative Property)

2.1 สมบัติการสลับที่การบวก ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้วa+b=b+a

เช่น 12+(-5)=7 (-5)+12=7

ดังนั้น 12+(-5)= (-5)+12

2.2 สมบัติการสลับที่การคูณ

ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a×b=b×a

เช่น 8 × (-3) =-24 (-3) × 8 =-24

ดังนั้น 8 × (-3)= (-3) × 8

3.สมบัติการเปลี่ยนหมู่(Associative Property)

3.1 สมบัติการเปลี่ยนหมู่การบวก

ให้ a,b และ c เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว (a+b)+c=a+(b+c)

นั่นคือ การบวกอาจหาผลลัพธ์จากกลุ่มใดก่อนก็ได้

เช่น [5+(-9)]+8 = (-4)+8 = 4

5+[(-9)+8] = 5+(-1) = 4

ดังนั้น [5+(-9)]+8 = 5+[(-9)+8]

3.1 สมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ

ให้ a,b และ c เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว (a×b) ×c=a× (b×c)

นั่นคือ การคูณอาจหาผลลัพธ์จากกลุ่มใดก่อนก็ได้

เช่น [5×(-3)]×(-4) = (-15)×(-4)=60

5×[(-3)×(-4)] = 5×12 =60

ดังนั้น [5×(-3)]×(-4) = 5×[(-3)×(-4)]

4.เอกลักษณ์(Identity)

5.ผกผันการบวก(additive inverse)

6.สมบัติการแจกแจง(Distributive Property)