ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
เป็นการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ จะได้เรียนตรรกศาสตร์เบื้องต้น ได้รู้ว่าประพจน์คืออะไร เรียนรู้ การเชื่อมประพจน์และหาค่าความจริงของประพจน์
1. ประพจน์
2. การเชื่อมประพจน์
3. การหาค่าความจริงของประพจน์
1.ประพจน์
ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์
ดาวอังคารเป็นดาวเคราะห์ (จริง)
จังหวัดลพบุรีไม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย (จริง)
5 ≠ 8 (จริง)
19 + 4 ≠ 23 (เท็จ)
π เป็นจำนวนตรรกยะ (เท็จ)
ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์
ได้แก่ ข้อความที่อยู่ในรูปของ คำถาม คำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำอ้อนวอน คำแสดงความปรารถนา สุภาษิตคำพังเพย ประโยคเปิด เพราะข้อความดังกล่าวไม่สามารถบอกค่าความจริงได้
ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์
คำถาม เช่น 3 หารด้วย 2 มีค่าเท่าไร
คำสั่ง เช่น จงยืนขึ้น
คำขอร้อง เช่น ช่วยกันรักษาความสะอาด
คำอ้อนวอน เช่น โปรดเมตตาด้วยเถิด
คำแสดงความปรารถนา เช่น อยากเห็นหน้าเธออีกสักครั้ง
คำอุทาน เช่น โอ้ย
สุภาษิตคำพังเพย เช่น วัวหายล้อมคอก
ประโยคเปิด เช่น เขาเป็นนักกีฬา
2. การเชื่อมประพจน์
การเชื่อมประพจน์
โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกัน มากกว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกัน ก็จะได้ประพจน์ใหม่ ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากในตรรกศาสตร์คือ และ หรือ ถ้า…แล้ว ก็ต่อเมื่อ ไม่
- ตัวเชื่อมประพจน์ “และ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “และ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) - ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) - ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) - ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน - นิเสธของประพจน์ “ไม่”
นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p
3. การหาค่าความจริงของประพจน์
การเชื่อมประพจน์นั้นบางครั้งจะต้องใช้ตัวเชื่อมหลายตัวมาเชื่อมประพจน์ ซึ่งอาจทำให้เกิดปัญหาในการหาค่าความจริงว่าควรที่จะเริ่มต้นที่ตัวใดก่อน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการลำดับสัญลักษณ์ที่ “คลุมความ” มากที่สุดและรองลงมาตามลำดับ ตารางความจริง คือ ตารางที่สร้างขึ้นเพื่อใช้หาค่าความจริงของประพจน์
ถ้ามีตัวแปร 2 ตัว จะมีจำนวนแถว =22 = 4
ถ้ามีตัวแปร 3 ตัว จะมีจำนวนแถว = 23 = 8
1. ตีตารางที่มีจำนวนช่องเท่ากับจำนวนตัวแปรรวมกับจำนวนตัวเชื่อม
2. เขียนค่าความจริงของตัวแปรก่อน (p,q,…)
3. เริ่มเขียนค่าความจริงของประพจน์ย่อยที่เล็กที่สุดก่อน แล้วจึงเขียนประพจน์ที่ใหญ่ขึ้นตามลำดับ
1. เขียนค่าความจริงของประพจน์ย่อย หรือตัวแปรแต่ละตัวก่อน เช่น p,q,r,…
2. หาค่าความจริงที่เป็นนิเสธของตัวแปร ถ้ามี ~p,~q,…
3. หาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมที่กินความน้อยที่สุด
4. หาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมที่กินความมากขึ้นตามลำดับ
5. ถ้าตัวเชื่อมกินความเท่ากัน ให้ทำจากซ้ายไปขวา
6. ถ้ามีวงเล็บควรทำในวงเล็บก่อน
ตัวเชื่อมที่กินความน้อยที่สุด ไปหามากที่สุด เรียงตามลำดับดังนี้
1. ~
2. ^
3. v
4. →
5. ↔
ตารางเรียงลำดับคุมความของลักษณ์จากมากไปหาน้อย
| สัญลักษณ์ | ความหมาย | ขยายความหมาย |
| ↔ | ก็ต่อเมื่อ | มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อประพจน์ที่เชื่อมกันมีค่าความจริงเหมือนกัน |
| → | ถ้า…แล้ว | มีค่าความจริงเป็นเท็จเมื่อประพจน์หน้าเป็นจริงและหลังเป็นเท็จ |
| ^ | และ | มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อทุกประพจน์เป็นจริงทั้งหมด |
| v | หรือ | มีค่าความเป็นจริง เมื่อมีประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง |
| ~ | ไม่ | มีค่าความตรงข้าว เช่นเปลี่ยนจากเป็นเท็จ หรือเปลี่ยนจากเท็จเป็นจริง |
จากตารางเรียงลำดับคลุมความจากมากไปน้อย โดยสัญลักษณ์ที่คลุมความน้อยกว่าต้องเริ่มจัดการทำก่อนสัญลักษณ์ที่คลุมความมากกว่า ส่วนกรณี^และvเป็นสัญลักษณ์ที่คลุมความเท่ากัน ดังนั้นจึงต้องใช้วงเล็บกำกับ เพื่อชี้ให้เห็นว่าจะต้องเริ่มทำที่ตัวเชื่อมใดก็ได้
| p | q | ~q | pvq | p^~q | pvq→p^~q |
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | T |
จงหาตารางความจริงของประพจน์ pvq→p^~q
วิธีทำ 1. เขียนค่าของ p, q ก่อน
2. หาค่า ~q ก่อน
3. หาค่า pvq และ p^~q
4. หาค่า pvq→p^~q
ในกรณีที่ทราบค่าแน่นอนของตัวแปร (หรือประพจน์ย่อย) เราสามารถหาค่าความจริงของประพจน์รวมได้ทันทีโดยเขียนตารางเพียงแถวเดียว
จงหาค่าความจริงของ (p→q)v(r^s)
เมื่อให้ p เป็นเท็จ q เป็นเท็จ r เป็นเท็จ s เป็นเท็จ
วิธีทำ P(p,q,r,s) = (p→q)v(r^s)
P(F,F,F,F) = T
“ถ้า 1+1 = 3 หรือ 2+2 = 5 แล้ว 1+2 = 4”
วิธีทำ ให้ p คือ 1+1 = 3 เป็น F
q คือ 2+2 = 5 เป็น F
r คือ 1+2 = 4 เป็น F
ประโยคข้างต้นสามารถเขียนแทนด้วย p^q→r
pvq = FvF = F
pvq→r = F→F = T
จงเขียนประโยคที่กำหนดให้ในรูปสัญลักษณ์
(1) ถ้า 4 เป็นเลขคี่แล้ว 5 เป็นเลขคู่
p แทน 4 เป็นเลขคี่
q แทน 5 เป็นเลขคู่
ดังนั้นเขียนแทนด้วย p→q
(2) 2 เท่ากับหรือมากกว่า 3
p แทน 2 เท่ากับ 3
q แทน 2 มากกว่า 3
ดังนั้นเขียนแทนด้วย pvq
(3) 6 หาร 3 ได้ลงตัวก็ต่อเมื่อ 3 บวก 3 เท่ากับ 7
p แทน 6 หาร 3 ลงตัว
q แทน 3 บวก 3 เท่ากับ 7
ดังนั้นเขียนแทนด้วย p↔q
(4) ดอกกุหลาบมีสีแดงและดอกมะลิมีสีฟ้า
p แทนดอกกุหลาบมีสีแดง
q แทนดอกมะลิมีสีฟ้า
ดังนั้นเขียนแทนด้วย p^q
