ห.ร.ม. (หารร่วมมาก)
บทนิยาม
กําหนดให้ a, b เป็นจํานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ (อย่างน้อยที่สุดจํานวนใดจํานวนหนึ่งต้องไม่เป็นศูนย์)
แล้ว จะกล่าวว่า + d∈I เป็นตัวหารร่วมมาก (Greatest Common Divisor : GCD) ของจํานวนเต็ม a,b ก็
ต่อเมื่อ d เป็นจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่ทําให้ d|a และ d|b
ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปนั้น เป็นการหาตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น ในบทความนี้ได้รวบรวมวิธี การหา ห.ร.ม. ไว้ทั้งหมด 3 วิธี น้องๆอาจคุ้นชินกับ การหา ห.ร.ม. โดยวิธีตั้งหาร แต่น้องๆทราบหรือไม่ว่าวิธีการหา ห.ร.ม. มีวิธีการดังต่อไปนี้
- การหา ห.ร.ม. โดยการหาผลคูณร่วม
- การหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ
- การหา ห.ร.ม. โดยการหาร (หารสั้น)
หมายเหตุ
1. ห.ร.ม. เป็นจํานวนเต็มบวกและไม่เป็นศูนย์
2. ใช้สัญลักษณ์ d = (a,b) เพื่อแสดงว่า d เป็น ห.ร.ม.ของ a และ b
3. (a,b) = (-a,b) = (a,-b) = (-a,-b) นั่นคือไม่ว่าเราจะหา ห.ร.ม.ของจํานวน
เต็มบวกหรือลบย่อมมีค่าเท่ากัน
4. ถ้า a ไม่เป็นศูนย์แล้ว (a,0) = |a| นั่นคือ ห.ร.ม.ของจํานวนเต็มใด ๆ กับศูนย์ก็คือตัวมัน เองที่เป็นบวกนั่นเอง
ห.ร.ม. (หารร่วมมาก) คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุด ซึ่งหารเลขในกลุ่มนั้นทั้งหมดได้ลงตัว ( “กลุ่ม” หมายถึง เลขตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป) หรืออาจกล่าวได้ว่า ห.ร.ม. คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุด ที่เป็นตัวประกอบร่วมของจำนวนเหล่านั้น
ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย) คือ จำนวนเต็มที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งเลขในกลุ่มนั้นทั้งหมดหารมันลงตัว
วิธีการหา ห.ร.ม และ ค.ร.น มีทั้งหมด 2 วิธี ได้แก่ การแยกตัวประกอบ และ การหารสั้น
วิธีแยกตัวประกอบ
18 = 2 x 3 x 3
45 = 3 x 3 x 5
ตัวประกอบร่วม คือ 3 และ 3
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ (3 x 3) = 9
ส่วน ค.ร.น. คือ (3 x 3 x 2 x 5) = 90 หรือ (ห.ร.ม. x 2 x 5) = 90
วิธีการหารสั้น
สำหรับการหา ห.ร.ม ด้วยวิธีการหารสั้น มีหลักที่แตกต่างจากการหา ค.ร.น ดังนี้
- สำหรับ ห.ร.ม : จำนวนเฉพาะที่จะนำมาเป็นตัวหารจะต้องสามารถหารทุกจำนวนลงตัว หากไม่สามารถมีจำนวนเฉพาะใดๆที่หารได้แล้ว การหารสั้นนั้นจะหยุดทันที และ ห.ร.ม ที่ได้จะเกิดจากการนำ ตัวหารทุกจำนวนมาคูณกัน
- สำหรับ ค.ร.น : จำนวนเฉพาะที่จะนำมาเป็นตัวหารต้องสามารถหารจำนวนเต็มได้ลงตัวอย่างน้อยสองจำนวนขึ้นไป หารไปเรื่อยๆจนไม่สามารถมีจำนวนเฉพาะใดๆที่หารจำนวนทั้งหมดได้แล้ว การหารสั้นนั้นจะหยุดทันที และ ค.ร.น ที่ได้จะเกิดจากการนำตัวหารทุกจำนวนและเศษทุกจำนวนมาคูณกัน
ห.ร.ม และ ค.ร.น ของ 12 18 24
ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)
ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย) คือ จำนวนเต็มที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งเลขในกลุ่มนั้นทั้งหมดหารมันลงตัว
วิธีการหา ห.ร.ม และ ค.ร.น มีทั้งหมด 2 วิธี ได้แก่ การแยกตัวประกอบ และ การหารสั้น
ตัวอย่าง
จงหาตัวคูณร่วมน้อยของ 6 และ 9 ช่วงจำนวนที่ไม่เกิน 50
6 เป็นตัวประกอบของ 6, 12, (18), 24, 30, (36), 42, 48
9 เป็นตัวประกอบของ 9, (18) , 27, (36) , 45
ตัวคูณร่วมของ 6 และ 9 คือ 18 และ 36
ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) คือ 18 (มีค่าน้อยสุด)
ตัวอย่างที่ 1 จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 3
วิธีทำ พหุคูณของ 2 คือ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …
พหุคูณของ 3 คือ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
เรียก 6, 12, 18, … เป็นพหุคูณร่วมของ 2 และ 3
พหุคูณที่น้อยที่สุดของ 2 และ 3 เรียกว่า ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด ซึ่งเขียนย่อๆ ว่า ค.ร.น.
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ 6
ตัวอย่างที่ 2 จงหา ค.ร.น. ของ 2, 3 และ 4
วิธีทำ พหุคูณของ 2 คือ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
พหุคูณของ 3 คือ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, …
พหุคูณของ 4 คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …
เพราะฉะนั้น พหุคูณร่วมของ 2, 3 และ 4 คือ 12 และ 24
นั่นคือ 12 เป็นพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 2, 3 และ 4
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 2, 3 และ 4 คือ 12
การหา ค.ร.น. โดยใช้วิธีที่ 1 ง่ายมากเลยใช่มั้ยค่ะ ต่อไปน้องๆ มาศึกษาวิธี การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ
วิธีที่ 2 การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ
หลักการ
- แยกตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับที่ต้องการหา ค.ร.น.
- พิจารณาตัวประกอบเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของจำนวนนับที่จะหา ค.ร.น.
- พิจารณาตัวประกอบเฉพาะเดี่ยว ๆ
- นำตัวประกอบเฉพาะที่ได้จากข้อ 2. ทั้งหมด และข้อ 3. ทั้งหมด มาคูณกัน
- ค.ร.น. คือ ผลคูณในข้อ 4.
ตัวอย่างที่ 2
ค.ร.น. ของ 30, 20 และ 28 คือจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดที่นำไปหารด้วย 30, 20 และ 28 ลงตัว ไม่มีเศษเหลือจากการหาร
ขั้นตอนการหา ค.ร.น. ของ 30, 20 และ 28 โดยวิธีแยกตัวประกอบ
1) นำ 30, 20 และ 28 มาแยกตัวประกอบ โดยแยกจนตัวประกอบทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ
30 = 2 x 3 x 5
20 = 2 x 2 x 5
28 = 2 x 2 x 7
2) นำตัวประกอบร่วมออกมา กลุ่มละ 1 ตัว จากตัวประกอบร่วม 3 กลุ่มคือ 2, 2 และ 5
2 เป็นตัวประกอบร่วมของ 30, 20 และ 28
2 เป็นตัวประกอบร่วมของ 20 และ 28
5 เป็นตัวประกอบร่วมของ 30 และ 20
ข้อสังเกต 2 (สีแดง) และ 2 (สีเขียว) แม้จะเป็นเลข 2 เหมือนกันแต่อยู่คนละกลุ่ม เพราะ
2 (สีแดง) เป็นตัวประกอบร่วมของทั้งสามจำนวนคือ 30, 20 และ 28 แต่
2 (สีเขียว) เป็นตัวประกอบร่วมของ 20 และ 28 เพียงสองจำนวนเท่านั้น
3) นำตัวประกอบอื่นออกมา
ตัวประกอบอื่นคือตัวประกอบของ 30, 20 และ 28 ที่ไม่ใช่ตัวประกอบร่วม
ตัวประกอบอื่นของ 30 คือ 3
ตัวประกอบอื่นของ 28 คือ 7
4) ค.ร.น. = ผลคูณของตัวประกอบร่วมและตัวประกอบอื่น
ค.ร.น. = 2 x 2 x 5 x 3 x 7
ค.ร.น. = 420
ข้อควรระวัง
การหา ค.ร.น. โดยวิธีตั้งหาร ต้องใช้ตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะ จึงจะได้คำตอบที่ถูกต้องทุกครั้ง
ถ้าใช้ตัวหารที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ (ตัวหารเป็นจำนวนประกอบ) อาจทำให้ได้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง
ตัวอย่างนี้ แสดงการหา ค.ร.น. ของ 30, 20 และ 28 โดยเลือก 10 เป็นตัวหาร
10 เป็นจำนวนประกอบ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
ค.ร.น. ที่คำนวณได้คือ 10 x 2 x 3 x 14 = 840
แม้ว่าวิธีคำนวณจะถูกต้อง แต่ผลสุดท้ายคำตอบผิด
ค.ร.น. ของ 30, 20 และ 28 คือ 420 ไม่ใช่ 840
สาเหตุของความผิดนี้ เกิดจากการใช้จำนวนประกอบเป็นตัวหาร
