<strong>ระบบจำนวนจริง (Real number)</strong>

ระบบจำนวนจริง (Real number)

จํานวนจริงสามารถแบ่งได้เป็น 2 ลักษณะ คือ จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ

1.จำนวนตรรกยะ (Rational Number) หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูป เศษส่วน

ของจำนวนเต็ม (ตัวส่วนไม่เท่ากับ 0 ) หรือเป็นทศนิยมซ้ำ เช่น $2 1, 5 -3, 7 22, - 6, 0.3, 0.4 3 ˙ 8 ˙, 7.643, 36$

2. จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number ) หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูป

เศษส่วนของจำนวนเต็มหรือเป็นทศนิยมไม่รู้จบ เช่น $π 1, \pm 2, \pm 3, π, e, 0.43443444344443 \dots$

รากที่สอง (Square Root)

รากที่สองของ $a (Sq u a reroo t o f คือจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วเท่ากับ a (เมื่อ < / s p an > a ⩾ 0)$

รากที่สองของ $a$ มี 2 ค่า $a [รากที่สองที่เป็นบวกของ a \Rightarrow a รากที่สองที่เป็นลบของ a \Rightarrow a$

การหารากที่สอง มี 4 วิธี ดังนี้

ใช้การแยกตัวประกอบ
ใช้วิธีโดยการประมาณ
ใช้ตารางแสดงรากที่สอง
ใช้วิธีตั้งหาร

ตัวอย่าง
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่ I – = {…, -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, …}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, …}
ระบบจำนวนเชิงซ้อนนอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
x^2 = -1 ∴ x = √-1 = i
x^2= -2 ∴ x = √-2 = √2 i
x^2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i

จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers)

สรุป

ส่วนประกอบของจำนวนจริง

จำนวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้

จำนวนตรรกยะ ( RATIONAL NUMBER )

จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้น จะมีส่วนประกอบอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือ

จำนวนเต็ม
ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

ซึ่งทั้งสองส่วนก็ยังมีส่วนย่อยลงไปได้อีก ส่วนตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนที่มีทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้นั้น จะถือเป็นจำนวนอตรรกยะโดยทันที

จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้

เศษส่วน
ทศนิยมซ้ำ

ซึ่งในหัวข้อนี้จะไม่ได้พูดถึงเศษส่วนและทศนิยมซ้ำอย่างละเอียด ถ้าต้องการศึกษาเพิ่มเติม สามารถเข้าไปศึกษาได้

จำนวนเต็ม ( INTEGER )

จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น

จำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มศูนย์

ข้อควรรู้ :

ไม่มีจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด
ไม่มีจำนวนเต็มลบที่่น้อยที่สุด
0 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด คือ 1
จำนวนเต็มลบที่มากที่สุด คือ -1

ประเภทของจำนวน

จำนวนคู่ ( Even Number ) : คือ จำนวนที่ 2 สามารถหารได้ลงตัว
จำนวนคี่ ( Odd Number ) : คือจำนวนที่ 2 ไม่สามารถหารได้ลงตัว
จำนวนเฉพาะ ( Prime Number ) : คือ จำนวนนับที่มีตัวหารที่เป็นจำนวนบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และ ตัวมันเองเท่านั้น
จำนวนประกอบ ( Composite Number ) คือ จำนวนนับที่เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ

1. สมบัติการบวกในจำนวนจริง

สมบัติปิดการบวก

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ a + b จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

สมบัติการสลับที่การบวก

a + b = b + a

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

การมีเอกลักษณ์การบวก

0 + a = a + 0 = a

การมีอินเวอร์สการบวก

a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0

2. สมบัติการคูณในจำนวนจริง

สมบัติปิดการคูณ

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว ab จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

สมบัติการสลับที่การคูณ

ab = ba

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

a × ( bc ) = ( ab ) × c

การมีเอกลักษณ์การคูณ

1 × a = a × 1 = a

การมีอินเวอร์สการคูณ

a × ( 1/a ) = ( 1/a ) × a = 1

สมบัติการแจกแจง

a ( b+c ) = ab + ac

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

6. สมบัติการแจกแจง

a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

ทฤษฎีบทที่ 1

กฎการตัดออกสำหรับการบวก

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 2

กฎการตัดออกสำหรับการคูณ

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b

ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 3

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a · 0 = 0

0 · a = 0

ทฤษฎีบทที่ 4

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

(-1)a = -a

a(-1) = -a

ทฤษฎีบทที่ 5

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

ทฤษฎีบทที่ 6

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a(-b) = -ab

(-a)b = -ab

(-a)(-b) = ab

เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

• การลบจำนวนจริง

บทนิยาม

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

a- b = a + (-b)

นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b

• การหารจำนวนจริง

บทนิยาม

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0

= a(b-1)

นั่นคือ

คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

การแก้สมการตัวแปรเดียว

บทนิยาม

สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า “สมการพหุนามกำลัง n”

ตัวอย่างเช่น

x3 – 2×2 + 3x -4 = 0

4×2 + 4x +1 = 0

2×4 -5×3 -x2 +3x -1 = 0

• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2

สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0

ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ

การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)

นั่นคือ เศษของ

คือ f(c)

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0

พหุนาม f(x) นี้จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0

ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ

คือ 0

แสดงว่า x – c หาร f(c) ได้ลงตัว

นั่นคือ x – c เป็นตัวประกอบของ f(x)

ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0

ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

สมบัติของการไม่เท่ากัน

บทนิยาม

a < b หมายถึง a น้อยกว่า b

a > b หมายถึง a มากกว่า b

• สมบัติของการไม่เท่ากัน

กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c

จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ

a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0

a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0

สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์

ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ

ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b

ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

บทนิยาม

a ≤ b	หมายถึง	a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b
a ≥ b	หมายถึง	a มากกว่าหรือเท่ากับ b
a < b < c	หมายถึง	a < b และ b < c
a ≤ b ≤ c	หมายถึง	a ≤ b และ b ≤ c

ช่วงของจำนวนจริงและการแก้อสมการ


	กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b
	1. ช่วงเปิด (a, b)
	(a, b) = { x \| a < x < b }


	2. ช่วงปิด [a, b]
	[a, b] = { x \| a ≤ x ≤ b }


	3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]
	(a, b] = { x \| a < x ≤ b }


	4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)
	[a, b) = { x \| a ≤ x < b }


	5. ช่วง (a, ∞)
	(a, ∞) = { x \| x > a}


	6. ช่วง [a, ∞)
	[a, ∞) = { x \| x ≥ a}


	7. ช่วง (-∞, a)
	(-∞, a) = { x \| x < a}


	8. ช่วง (-∞, a]
	(-∞, a] = { x \| x ≤ a}


• การแก้อสมการ
	อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
	คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
	เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

	หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
	เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
	1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
	ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
	2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
	ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
	ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

ตัวอย่างที่ 1	จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12
วิธีทำ		x + 3	>	12
	∴	x + 3 + (-3)	>	12 + (-3)
		x	>	9
	∴	เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)

ตัวอย่างที่ 2

จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9

วิธีทำ

2x + 1

∴

2x + 1 + (-1)

9 + (-1)

(2x)

(8)

∴

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)

ตัวอย่างที่ 3

จงหาเซตคำตอบของ 4x – 5 ≤ 2x + 5

วิธีทำ

4x – 5

≤

2x + 5

4x – 5 + 5

≤

2x + 5 + 5

≤

2x + 10

4x – 2x

≤

2x + 10 – 2x

≤

(2x)

≤

(10)

≤

∴

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]

หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0

2. ถ้า

= 0 แล้ว จะได้ a = 0

3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0

5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0

6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0

7. ถ้า

> 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

8. ถ้า

< 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0

9. ถ้า

≥ 0 แล้ว จะได้

> 0 หรือ

= 0

10. ถ้า

≤ 0 แล้ว จะได้

< 0 หรือ

= 0

ตัวอย่างที่ 4

จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0

วิธีทำ

ถ้า (x – 3)(x – 4)

0 แล้วจะได้

x – 3

0 และ x – 4 > 0

3 และ x > 4

∴

เมื่อ x – 3

0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4

หรือ x – 3

0 และ x – 4 < 0

3 และ x < 4

∴

x – 3

0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3

นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0 คือ

{ x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )

ตัวอย่างที่ 5	จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0
วิธีทำ		ถ้า (x – 3)(x – 4)	<	0 แล้วจะได้
		x – 3	>	0 และ x – 4 < 0
		x	>	3 และ x < 4

	∴	เมื่อ x – 3	>	0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4
		หรือ x – 3	<	0 และ x – 4 > 0
		x	<	3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้

	∴	ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x – 3 < 0 และ x – 4 > 0
	นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0 คือ
	{ x \| 3 < x < 4 } = (3, 4)

จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้
กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว
1. ถ้า (x – a)(x – b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b
2. ถ้า (x – a)(x – b) < 0 จะได้ a < x < b
3. ถ้า (x – a)(x – b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b
4. ถ้า (x – a)(x – b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b
5. ถ้า		> 0 จะได้ x < a หรือ x > b
6. ถ้า		< 0 จะได้ a < x < b
7. ถ้า		≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b
8. ถ้า		≤ 0 จะได้ a ≤ x < b
หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

ค่าสัมบูรณ์

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง

	นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
	1. \|x\| = \|-x\|
	2. \|xy\| = \|x\|\|y\|

สรุป

1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของ
จำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, – √3, -√5 หรือ
¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265…

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของ
จำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น

• ระบบจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่
ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น

2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

• ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I ^– โดยที่
I ^– = {…, -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I ^– เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ

2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)

3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I⁺ โดยที่
I⁺ = {1, 2, 3, 4, …}
เมื่อ I⁺ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของ
จำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
N = I⁺ = {1, 2, 3, 4, …}

ในทางคณิตศาสตร์ “…ตรรกยะ” หมายถึง เราจำกัดขอบเขตให้อยู่ในระบบจำนวน
ตรรกยะเท่านั้น เช่น พหุนามตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเราใช้สัญลักษณ์ Q หรือตัวใหญ่บนกระดานดำ
โดยใช้เซตเงื่อนไข ได้ดังนี้

จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่เขียนแทนในรูปเศษส่วน เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ
<== หมายเหตุ == > ตัวอย่างจำนวนที่เป็นจำนวนตรรกยะ เช่น จำนวนเต็ม , เศษส่วน , ทศนิยมซ้ำ เป็นต้น